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发信人: micheal (平凡的世界), 信区: Math
标  题: 分形及其测量方法(2) (转载)
发信站: 哈工大紫丁香 (Fri Apr  7 15:21:17 2000), 转信

发信站: 南京大学小百合站 (Thu Jan  6 12:27:18 2000), 转信

改变观察尺度求维数

     牋� 本方法是用圆和球、线段和正方形、立方体等具有特征长度的基本图形去近似分
     形图形，例如用长度为 r的线段集合近似海岸线那样的复杂曲线。先把曲线的一端作
     为起点，然后以此点为中心画一个半径为 r的圆，把此圆与曲线最初相交的点和起点
     用直线连结起来,再把此交点重新看作起点，以后反复进行同样的操作。用长度为 r
     的折线去近似海岸线时，把测得的线段总数记作 N(r)。如果改变基准长度 r，则
     N(r)也要变化。如果海岸线是笔直的，则

                        N(r)～１/r             (1)

     的关系式能够成立。但式(1)对形状复杂的海岸线不适用。如果把基准长度 r变小�
     因为这时能测出 r大时被漏掉的细致构造，所以需要更多的小线段(因 r已变小)来
     近似海岸线。因此，一般地说，如果某曲线具有

                        N(r)～r(-D)             (2)

     (这里(-D)是r的指数)关系，即可称 D为这一曲线的维数。对海岸线和无规行走轨迹
     的分形维数的测定，多数是采用这个方法的。

     牋� 可以把此方法进行扩展，使之适用范围扩大到二维和三维，同时也适用于计算机
     计算。扩展方法是，把平面或空间分割成边长为r的细胞，然后来数所要考虑的形状
     (或构造)中所含的细胞数N(r)。现在来看如何求平面上点的分布的分形维数。首先
     用间隔为 r的格子把平面分割成边长为 r的正方形，数出此平面上至少包含一个点的
     正方形的个数，并把此数记为 N(r)，如果当 r取不同的大小时，下式

                          N(r)～r(-D)                 (3)


     (这里(-D)是r的指数)成立，则 D就是平面上点的分布的维数。如果平面上的点是均
     匀地致密排列并覆盖住整个平面，此时D＝2，与直线时一样，它与经验维数相一致�
     这个方法不仅适用于曲线和点的分布，也适用于像河流这样有大量分岔的图形，所以
     是个很有用的方法。
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        我不去想是否能够成功
        既然选择了远方
        便只顾风雨兼程
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