Physics 版 (精华区)

发信人: Rg (RedGardenia), 信区: Physics
标  题: chapter four :Conservation of Energy
发信站: 哈工大紫丁香 (2002年08月15日19:02:17 星期四), 站内信件

4-1 What is energy?
In this chapter, we begin our more detailed
study of the di?erent aspects of physics, having
finished our description of things in general.
To illustrate the ideas and the kind of
reasoning that might be used in theoretical
physics, we shall now examine one of the most
basic laws of physics, the conservation of energy.
There is a fact, or if you wish, a law, governing
all natural phenomena that are known
to date. There is no known exception to this
lawit is exact so far as we know. The law
is called the conservation of energy. It states
that there is a certain quantity, which we call
energy, that does not change in the manifold
changes which nature undergoes. That is a
most abstract idea, because it is a mathematical
principle; it says that there is a numerical
quantity which does not change when something
happens. It is not a description of a
mechanism, or anything concrete; it is just a
strange fact that we can calculate some number
and when we finish watching nature go
through her tricks and calculate the number
again, it is the same. (Something like the
bishop on a red square, and after a number
of movesdetails unknownit is still on some red
square. It is a law of this nature.) Since it is an
abstract idea, we shall illustrate the meaning
of it by an analogy. Imagine a child, perhaps
”Dennis the Menace,” who has blocks which
are absolutely indestructible, and cannot be
divided into pieces. Each is the same as the
other. Let us suppose that he has 28 blocks.
His mother puts him with his 28 blocks into a
room at the beginning of the day. At the end
of the day, being curious, she counts the blocks
very carefully, and discovers a phenomenal law
no matter what he does with the blocks, there
are always 28 remaining! This continues for a
number of days, until one day there are only
27 blocks, but a little investigating shows that
there is one under the rugshe must look everywhere
to be sure that the number of blocks
has not changed. One day, however, the number
appears to changethere are only 26 blocks.
Careful investigation indicates that the window
was open, and upon looking outside, the
other two blocks are found. Another day, careful
count indicates that there are 30 blocks!
This causes considerable consternation, until
it is realized that Bruce came to visit, bringing
his blocks with him, and he left a few at Dennis’
house. After she has disposed of the extra
blocks, she closes the window, does not let
Bruce in, and then everything is going along
all right, until one time she counts and finds
only 25 blocks. However, there is a box in the
room, a toy box, and the mother goes to open
the toy box, but the boy says ”No, do not open
my toy box,” and screams. Mother is not allowed
to open the toy box. Being extremely
curious, and somewhat ingenious, she invents
a scheme! She knows that a block weighs three
ounces, so she weighs the box at a time when
she sees 28 blocks, and it weighs 16 ounces.
The next time she wishes to check, she weighs
the box again, subtracts sixteen ounces and
divides by three. She discovers the following:
There then appear to be some new deviations,
but careful study indicates that the dirty water
in the bathtub is changing its level. The
child is throwing blocks into the water, and she
cannot see them because it is so dirty, but she
can find out how many blocks are in the water
by adding another term to her formula. Since
the original height of the water was 6 inches
and each block raises the water a quarterof an
inch, this new formula would be: In the gradual
increase in the complexity of her world,
she finds a whole series of terms representing
ways of calculating how many blocks are in
places where she is not allowed to look. As a
result, she finds a complex formula, a quantity
which has to be computed, which always
stays the same in her situation. What is the
analogy of this to the conservation of energy?
The most remarkable aspect that must be abstracted
from this picture is that there are no
blocks. Take away the first terms in (4.1) and
(4.2) and we find ourselves calculating more
or less abstract things. The analogy has the
following points. First, when we are calculating
the energy, sometimes some of it leaves
the system and goes away, or sometimes some
comes in. In order to verify the conservation
of energy, we must be careful that we have
not put any in or taken any out. Second, the
energy has a large number of di?erent forms,
and there is a formula for each one. These are:
gravitational energy, kinetic energy, heat energy,
elastic energy, electrical energy, chemical
energy, radiant energy, nuclear energy, mass
energy. If we total up the formulas for each of
these contributions, it will not change except
for energy going in and out. It is important
to realize that in physics today, we have no
knowledge of what energy is. We do not have
a picture that energy comes in little blobs of a
definite amount. It is not that way. However,
there are formulas for calculating some numerical
quantity, and when we add it all together
it gives ”28”’always the same number. It is
an abstract thing in that it does not tell us
the mechanism or the reasons for the various
formulas.
4-2 Gravitational potential energy
Conservation of energy can be understood
only if we have the formula for all of its forms.
I wish to discuss the formula for gravitational
energy near the surface of the Earth, and I
wish to derive this formula in a way which
has nothing to do with history but is simply
a line of reasoning invented for this particular
lecture to give you an illustration of the
remarkable fact that a great deal about nature
can be extracted from a few facts and
close reasoning. It is an illustration of the kind
of work theoretical physicists become involved
in. It is patterned after a most excellent argument
by Mr. Carnot on the e±ciency of steam
engines.* Consider weight-lifting machinesmachines
which have the property that they lift
one weight by lowering another. Let us also
make a hypothesis: that there is no such thing
as perpetual motion with these weight-lifting
machines. (In fact, that there is no perpetual
motion at all is a general statement of the law
of conservation of energy.) We must be careful
to define perpetual motion. First, let us
do it for weight-lifting machines. If, when we
have lifted and lowered a lot of weights and restored
the machine to the original condition,
we find that the net result is to have lifted a
weight, then we have a perpetual motion machine
because we can use that lifted weight to
run something else. That is, provided the machine
which lifted the weight is brought back
to its exact original condition, and furthermore
that it is completely self-containedthat it
has not received the energy to lift that weight
from some external sourcelike Bruce’s blocks.
A very simple weight-lifting machine is shown
in Fig. 4-1. This machine lifts weights three
units ”strong.” We place three units on one
balance pan, and one unit on the other. However,
in order to get it actually to work, we
must lift a little weight o? the left pan. On the
other hand, we could lift a one-unit weightby
lowering the three-unit weight, if we cheat a
little by lifting a little weight o? the other
pan. Of course, we realize that with any actual
lifting machine, we must add a little extra
to get it to run. This we disregard, temporarily.
Ideal machines, although they do not
exist, do not require anything extra. A machine
that we actually use can be, in a sense,
almost reversible: that is, if it will lift the
weight of three by lowering a weight of one,
then it will also lift nearly the weight of one
the same amount by lowering the weight of
three. We imagine that there are two classes of
machines, those that are not reversible, which
includes all real machines, and those that are
reversible, which of course are actually not attainable
no matter how careful we may be in
our design of bearings, levers, etc. We suppose,
however, that there is such a thinga reversible
machinewhich lowers one unit of weight
(a pound or any other unit) by one unit of
distance, and at the same time lifts a threeunit
weight. Call this reversible machine, Machine
A. Suppose this particular reversible machine
lifts the three-unit weight a distance X.
Then suppose we have another machine, Machine
B, which is not necessarily reversible,
which also lowers a unit weight a unit distance,
but which lifts three units a distance
Y. We can now prove that Y is not higher
than X; that is, it is impossible to build a machine
that will lift a weight any higher than it
will be lifted by a reversible machine. Let us
see why. Let us suppose that Y were higher
than X. We take a one-unit weight and lower
it one unit height with Machine B, and that
lifts the three-unit weight up a distance V.
Then we could lower the weight from Y to X,
obtaining free power, and use the reversible
Machine A, running backwards, to lower the
three-unit weight a distance X and lift the
one-unit weight by one unit height. This will
put the one-unit weight back where it was before,
and leave both machines ready to be used
again! We would therefore have perpetual motion
if Y were higher than X, which we assumed
was impossible. With those assumptions,
we thus deduce that Y is not higher
than X, so that of all machines that can be designed,
the reversible machine is the best. We
can also see that all reversible machines must
lift to exactly the same height. Suppose that
B were really reversible also. The argument
that Y is not higher than X is, of course, just
as good as it was before, but we can also make
our argument the other way around, using the
machines in the opposite order, and prove that
X is not higher than Y. This, then, is a very remarkable
observation because it permits us to
analyze the height to which di?erent machines
are going to lift something without looking
at the interior mechanism. We know at once
that if somebody makes an enormously elaborate
series of levers that lift three units a
certain distance by lowering one unit by one
unit distance, and we compare it with a simple
lever which does the same thing and is fundamentally
reversible, his machine will lift it no
higher, but perhaps less high. If his machine
is reversible, we also know exactly how high it
will lift. To summarize: every reversible ma-
chine, no matter how it operates, which drops
one pound one foot and lifts a three-pound
weight always lifts it the same distance, X.
This is clearly a universal law of great utility.
The next question is, of course, what
is XI Suppose we have a reversible machine
which is going to lift this distance X, three for
one. We set up three balls in a rack which
does not move, as shown in Fig. 4-2. One
ball is held on a stage at a distance one foot
above the ground. The machine can lift three
balls, lowering one by a distance 1. Now, we
have arranged that the platform which holds
three balls has a floor and two shelves, exactly
spaced at distance X, and further, that
the rack which holds the balls is spaced at distance
X, (a). First we roll the balls horizontally
from the rack to the shelves, (b), and we
suppose that this takes no energy because we
do not change the height. The reversible machine
then operates: it lowers the single ball to
the floor, and it lifts the rack a distance X, (c).
Now we have ingeniously arranged the rack so
that these balls are again even with the platforms.
Thus we unload the balls onto the rack,
(d); having unloaded the balls, we can restore
the machine to its original condition. Now we
have three balls on the upper three shelves and
one at the bottom. But the strange thing is
that, in a certain way of speaking, we have
not lifted two of them at all because, after all,
there were balls on shelves 2 and/3before. The
resulting e?ect has been to lift one ball a distance
3X. Now, if 3X exceeds one foot, then
we can lower the ball to return the machine
to the initial condition, (f), and we can run
the apparatus again. Therefore 3 X cannot
exceed one foot, for if 3 X exceeds one foot
we can make perpetual motion. Likewise, we
can prove that one foot cannot exceed 3X, by
making the whole machine run the opposite
way, since it is a reversible machine. Therefore
3X is neither greater nor less than a foot,
and we discover then, by argument alone, the
law that X = f oot:T hegeneralizationisclear :

4-3 Kinetic energy
To illustrate another type of energy we consider
a pendulum (Fig. 4-7). If we pull the
mass aside and release it, it swings back and
forth. In its motion, it loses height in going
from either end to the center. Where does the
potential energy go? Gravitational energy disappears
when it is down at the bottom; nevertheless,
it will climb up again. The gravitational
energy must have gone into another
form. Evidently it is by virtue of its motion
that it is able to climb up again, so we have the
conversion of gravitational energy into some
other form when it reaches the bottom. We
must get a formula for the energy of motion.
Now, recalling our arguments about reversible
machines, we can easily see that in the motion
at the bottom must be a quantity of energy
which permits it to rise a certain height, and
which has nothing to do with the machinery
by which it comes up or the path by which it
comes up. So we have an equivalence formula
something like the one we wrote for the child’s
blocks. We have another form to represent the
energy. It is easy to say what it is. The kinetic
energy at the bottom equals the weight times
the height that it could go, corresponding to
its velocity: K.E. = WH. What we need is
the formula which tells us the height by some
rule that has to do with the motion of objects.
If we start something out with a certain
velocity, say straight up, it will reach a certain
height; we do not know what it is yet, but it
depends on the velocitythere is a formula for
that. Then to find the formula for kinetic en-
ergyfor an object moving with velocity V, we
must calculate the height that it could reach,
and multiply by the weight. We shall soon
find that we can write it this way: Of course,
the fact that motion has energy has nothing
to do with the fact that we are in a gravitational
field. It makes no di?erence where the
motion came from. This is a general formula
for various velocities. Both (4.3) and (4.6) are
approximate formulas, the first because it is
incorrect when the heights are great, i.e., when
the heights are so high that gravity is weakening;
the second, because of the relativistic
correction at high speeds. However, when we
do finally get the exact formula for the energy,
then the law of conservation of energy is correct.
4-4 Other forms of energy
We can continue in this way to illustrate
the existence of energy in other forms. First,
consider elastic energy. If we pull down on
a spring, we must do some work, for when
we have it down, we can lift weights with it.
Therefore in its stretched condition it has a
possibility of doing some work. If we were to
evaluate the sums of weights times heights, it
would not check outwe must add something
else to account for the fact that the spring
is under tension. Elastic energy is the formula
for a spring when it is stretched. How
much energy is it? If we let go, the elastic
energy, as the spring passes through the equilibrium
point, is converted to kinetic energy
and it goes back and forth between compressing
or stretching the spring and kinetic energy
of motion. (There is also some gravitational
energy going in and out, but we can do this
experiment ”sideways” if we like.) It keeps going
until the lossesAha! We have cheated all
the way through by putting on little weights
to move things or saying that the machines
are reversible, or that they go on forever, but
we can see that things do stop, eventually.
Where is the energy when the spring has finished
moving up and down? This brings in
another form of energy: heat energy. Inside
a spring or a lever there are crystals which
are made up of lots of atoms, and with great
care and delicacy in the arrangement of the
parts one can try to adjust things so that as
something rolls on something else, none of the
atoms do any jiggling at all. But one must
be very careful. Ordinarily when things roll,
there is bumping and jiggling because of the
irregularities of the material, and the atoms
start to wiggle inside. So we lose track of that
energy; we find the atoms are wiggling inside
in a random and confused manner after the
motion slows down. There is still kinetic energy,
all right, but it is not associated with
visible motion. What a dream! How do we
know there is still kinetic energy? It turns out
that with thermometers you can find out that,
in fact, the spring or the lever is warmer, and
that there is really an increase of kinetic energy
by a definite amount. We call this form
of energy heat energy, but we know that it is
not really a new form, it is just kinetic energyinternal
motion. (One of the di±culties
with all these experiments with matter that
we do on a large scale is that we cannot really
demonstrate the conservation of energy
and we cannot really make our reversible machines,
because every time we move a large
clump of stu?, the atoms do not remain absolutely
undisturbed, and so a certain amount
of random motion goes into the atomic system.
We cannot see it, but we can measure
it with thermometers, etc.) There are many
other forms of energy, and of course we cannot
describe them in any more detail just now.
There is electrical energy, which has to do with
pushing and pulling by electric charges. There
is radiant energy, the energy of light, which
we know is a form of electrical energy because
light can be represented as wigglings in the
electromagnetic field. There is chemical energy,
the energy which is released in chemical
reactions. Actually, elastic energy is, to
a certain extent, like chemical energy, because
chemical energy is the energy of the attraction
of the atoms, one for the other, and so is elas-
tic energy. Our modern understanding is the
following: chemical energy has two parts, kinetic
energy of the electrons inside the atoms,
so part of it is kinetic, and electrical energy of
interaction of theelectrons and the protonsthe
rest of it, therefore, is electrical. Next we come
to nuclear energy, the energy which is involved
with the arrangement of particles inside the
nucleus, and we have formulas for that, but we
do not have the fundamental laws. We know
that it is not electrical, not gravitational, and
not purely chemical, but we do not know what
it is. It seems to be an additional form of energy.
Finally, associated with the relativity
theory, there is a modification of the laws of
kinetic energy, or whatever you wish to call
it, so that kinetic energy is combined with another
thing called mass energy. An object has
energy from its sheer existence. If I have a
positron and an electron, standing still doing
nothing never mind gravity, never mind anythingand
they come together and disappear,
radiant energy will be liberated, in a definite
amount, and the amount can be calculated.
All we need know is the mass of the object.
It does not depend on what it iswe make two
things disappear, and we get a certain amount
of energy. The formula was first found by Einstein;
it is E = mc2. It is obvious from our discussion
that the law of conservation of energy
is enormously useful in making analyses, as
we have illustrated in a few examples without
knowing all the formulas. If we had all the formulas
for all kinds of energy, we could analyze
how many processes should work without having
to go into the details. Therefore conservation
laws are very interesting. The question
naturally arises as to what other conservation
laws there are in physics. There are two other
conservation laws which are analogous to the
conservation of energy. One is called the conservation
of linear momentum. The other is
called the conservation of angular momentum.
We will find out more about these later. In the
last analysis, we do not-understand the conservation
laws deeply. We do not understand
the conservation of energy. We do not understand
energy as a certain number of little
blobs. You may have heard that photons come
out in blobs and that the energy of a photon is
Planck’s constant times the frequency. That
is true, but since the frequency of light can be
anything, there is no law that says that energy
has to be a certain definite amount. Unlike
Dennis’ blocks, there can be any amount of
energy, at least as presently understood. So
we do not understand this energy as counting
something at the moment, but just as a
mathematical quantity, which is an abstract
and rather peculiar circumstance. In quantum
mechanics it turns out that the conservation
of energy is very closely related to another important
property of the world, things do not
depend on the absolute time. We can set up
an experiment at a given moment and try it
out, and then do the same experiment at a
later moment, and it will behave in exactly
the same way. Whether this is strictly true
or not, we do not know. If we assume that
it is true, and add the principles of quantum
mechanics, then we can deduce Jhe principle
of the conservation of energy. It is a rather
subtle and interesting thing, and it is not easy
to explain. The other conservation laws are
also linked together. The conservation of momentum
is associated in quantum mechanics
with the proposition that it makes no di?erence
where you do the experiment, the results
will always be the same. As independence in
space has to do with the conservation of momentum,
independence of time has to do with
the conservation of energy, and finally, if we
turn our apparatus, this too makes no di?erence,
and so the invariance of the world to
angular orientation is related to the conservation
of angular momentum. Besides these,
there are three other conservation laws, that
are exact so far as we can tell today, which
are much simpler to understand because they
are in the nature of counting blocks. The first
of the three is the conservation of charge, and
that merely means that you count how many
positive, minus how many negative electrical
charges you have, and the number is never
changed. You may get rid of a positive with
a negative, but you do not create any net excess
of positives over negatives. Two other
laws are analogous to this oneone is called the
conservation of baryons. There are a number
of strange particles, a neutron and a proton
are examples, which are called baryons. In
any reaction whatever in nature, if we count
how many baryons are coming into a process,
the number of baryons* which come outwill
be exactly the same. There is another law,
the conservation of leptons. We can say that
the group of particles called leptons are: electron,
mu meson, and neutrino. There is an
antielectron which is a positron, that is, a 1
lepton. Counting the total number of leptons
in a reaction reveals that the number in
and out never changes, at least so far as we
know at present. These are the six conservation
laws, three of them subtle, involving
space and time, and three of them simple, in
the sense of counting something. With regard
to the conservation of energy, we should note
that available energy is another matterthere
is a lot of jiggling around in the atoms of the
water of the sea, because the sea has a certain
temperature, but it is impossible to get
them herded into a definite motion without
taking energy from somewhere else. That is,
although we know for a fact that energy is conserved,
the energy available for human utility
is not conserved so easily. The laws which govern
how much energy is available are called the
laws of thermodynamics and involve a concept
called entropy for irreversible thermodynamic
processes. Finally, we remark on the question
of where we can get our supplies of energy
today. Our supplies of energy are from
the sun, rain, coal, uranium, and hydrogen.
The sun makes the rain, and the coal also,
so that all these are from the sun. Although
energy is conserved, nature does not seem to
be interested in it; she liberates a lot of energy
from the sun, but only one part in two
billion falls on the earth. Nature has conservation
of energy, but does not really care; she
spends a lot of it in all directions. We have already
obtained energy from uranium; we can
also get energy from hydrogen, but at present
only in an explosive and dangerous condition.
If it can be controlled in thermonuclear reactions,
it turns out that the energy that can be
obtained from 10 quarts of water per second
is equal to all of the electrical power generated
in the United States. With 150 gallons
of running water a minute, you have enough
fuel to supply all the energy which is used in
the United States today! Therefore it is up
to the physicist to figure out how to liberate
us from the need for having energy. It can be
done.

--


          这个世界不是缺少美；
          而是缺少发现美的眼睛！

           上帝呀，请赐予我吧！

※ 来源:·哈工大紫丁香 bbs.hit.edu.cn·[FROM: nlo.hit.edu.cn]