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发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Physics
标  题: [转载]  我的物理哲学之路－潘根(20)
发信站: 哈工大紫丁香 (Sun May 11 15:01:21 2003) , 转信

                十九、薛定谔方程的导出

    ２０００年５月至８月．
    德布罗意公式的导出，意味着引－电统一场论从此从狭义相对论领域跨进了
广义相对论的境地，实现了从波到粒子的突破，此后不再需要在基本观点方面发
生质的飞跃．我意识到这件事也许应当算是物理学史上的重要事件，因而立即在
电脑里写下：“２０００年５月１０日夜里１１点０６分完成了计划中的《基础
物理述评教程》的全部手稿，接着就在１１点３２分用逻辑方法导出了德布罗意
公式．与普朗克公式、德布罗意公式相比，薛定谔方程理也许只是小菜一碟．预
料爱因斯坦的遗愿将会在今天的最后２８分钟里成为现实．”
    作出上述判断的根据是：既然已经肯定粒子是波包，那就自然应当是用波函
数来描述．在结构化学教材里，薛定谔方程是利用单色平面波来引入的，只要把
哈密顿算符作用于单色平面波的函数，用不了一分钟就能得到薛定谔方程．此法
虽只具有“用特例来验证”的意义，但因一般的波都是由单色波叠加而成的，所
以，只要把一般的波函数作傅里叶展开，就可以仿照结构化学教材里的办法来导
出薛定谔方程．就工作量方面看，无非是增加一分钟来书写傅里叶展开式．一旦
采用任意波函数的傅里叶展开式，那就不只是验证了，而是证明薛定谔方程普遍
成立．早在１９８２年下半年阅读徐光宪先生的《物质结构》一书时，我就已经
有了这种想法．遗憾的是：这种想法只是留在脑子里，一直未把它写到纸上来．
    我兴致勃勃地立即开始工作，这次当然是要动笔了．写出两个式子之后就立
即发现：问题远非原先想象的那样简单．因为一般函数的傅里叶展开式应当是积
分式，用哈密顿算符作用后，得到的仍然是积分式，而薛定谔方程应当是本征值
所满足的偏微分方程．原先以为能在２８分钟里完成的工作，竟是一场比普朗克
公式、德布罗意公式还要艰苦得多的攻坚战．攻到第二天，忘了吃早饭，一直攻
到中午，毫无进展．身体缺糖虚脱了，才知道必须补充燃料．饭后午睡时仍抑制
不住兴奋状态，于是索性攻到晚上，还是毫无进展．
    这场攻坚战与前两次不同，当年思考普朗克公式和德布罗意公式的时候，都
是感到完全摸不着头脑，攻一阵子也就只好算了，所以总是断断续续地干．这次
是，动笔几分钟之后就已经得到了一个式子，这个式子只比薛定谔方程多一个积

                                 .36.


分号．显然，只要能把这个积分号消掉，就意味着大功告成．这个积分号就像是
一个玻璃瓶子，它让你看到瓶子里的果子，钓你的胃口，却又不让你拿到果子．
    我总感到目标就在眼前，但要跨出这最后一步竟是如此之难．连续攻了一个
半月，瓶子依然毫无裂缝．我越来越感到疲劳，到了６月下旬就支撑不住了．从
镜子里看到了自己憔悴的面容，不禁感到有点辛酸：“一晃四十年已过，难道当
真只有通过隧道效应才能拿到果子吗？看来这辈子是没有希望了．”幸好这种沮
丧情绪还没有超过果子本身的吸引力，我只是稍许放松了一下，但未停止思考．
    ７月上旬的一天凌晨，我被鸟叫声唤醒，比平时早一个多小时．天还不源．
    我兴致勃勃地立即开始工作，这次当然是要动笔了．写出两个式子之后就立
即发现：问题远非原先想象的那样简单．因为一般函数的傅里叶展开式应当是积
分式，用哈密顿算符作用后，得到的仍然是积分式，而薛定谔方程应当是本征值
所满足的偏微分方程．原先以为能在２８分钟里完成的工作，竟是一场比普朗克
公式、德布罗意公式还要艰苦得多的攻坚战．攻到第二天，忘了吃早饭，一直攻
到中午，毫无进展．身体缺糖虚脱了，才知道必须补充燃料．饭后午睡时仍抑制
不住兴奋状态，于是索性攻到晚上，还是毫无进展．
    这场攻坚战与前两次不同，当年思考普朗克公式和德布罗意公式的时候，都
是感到完全摸不着头脑，攻一阵子也就只好算了，所以总是断断续续地干．这次
是，动笔几分钟之后就已经得到了一个式子，这个式子只比薛定谔方程多一个积

                                 .36.


分号．显然，只要能把这个积分号消掉，就意味着大功告成．这个积分号就像是
一个玻璃瓶子，它让你看到瓶子里的果子，钓你的胃口，却又不让你拿到果子．
    我总感到目标就在眼前，但要跨出这最后一步竟是如此之难．连续攻了一个
半月，瓶子依然毫无裂缝．我越来越感到疲劳，到了６月下旬就支撑不住了．从
镜子里看到了自己憔悴的面容，不禁感到有点辛酸：“一晃四十年已过，难道当
真只有通过隧道效应才能拿到果子吗？看来这辈子是没有希望了．”幸好这种沮
丧情绪还没有超过果子本身的吸引力，我只是稍许放松了一下，但未停止思考．
    ７月上旬的一天凌晨，我被鸟叫声唤醒，比平时早一个多小时．天还不怎么
亮，但再入睡是不可能了，于是索性坐起来欣赏这悦耳的声音，并试图判断鸟的
位置，但做不到，因为我意识到自己所听到声音是衍射波．接着就联想起电子衍
射实验，终于恍然大悟：“积分号一般是消不掉的，除非被积函数里包含狄拉克
函数．应当从粒子波函数的特殊性方面进行分析．当年玻尔学派的三大法宝中已
被我破了两个，还留下一个电子的点染式衍射图样问题．点染式在数学方面应当
与脉冲函数有关．也许应当从电子衍射实验中寻找出路．”
    我把电子的衍射与声波的衍射进行了比较．声波要依靠空气分子来传播．声
场中的分子总是既要作声振动，又要作杂乱无章的热运动，因而声波必定是概率
波，它的衍射图样也应当是点染式的．但是，如果没有声源，也就不会有衍射花
样．这就表明声源与衍射图样之间的关系是因果关系．点染式则是表明随机性的
原因必定产生随机性的结果，这也是由因果律支配的．因此，声波是一种遵守因
果律的概率波．与此类似，电子枪发射电子是随机性的，但电子本身就是引力波
和电磁波构成的波包，因而电子束也是同时含有随机成分和相干成分，两种成分
也都应当分别遵守因果律(见《述评》 p.806)．我又回想起１９８２年暑假里未
能成功的“弹簧衍射实验”，想象着有驻波场的弹簧与狭缝边缘相碰后偏转，偏
转角度的大小由驻波的相位决定．想到这里，就立即起床，很快就导出了薛定谔
方程(见《述评》 p.809)．确实只用了半个小时的时间．
    粒子波函数的完备形式中应当包含两种成分，其一是随机性脉冲函数，其二
是粒子本身固有的波函数．这两种函数分别使用实验室参考系和本地参考难道当
真只有通过隧道效应才能拿到果子吗？看来这辈子是没有希望了．”幸好这种沮
丧情绪还没有超过果子本身的吸引力，我只是稍许放松了一下，但未停止思考．
    ７月上旬的一天凌晨，我被鸟叫声唤醒，比平时早一个多小时．天还不怎么
用于描述粒子的代表点在实验室参考系中的随机性位置，固有波函数是用于描绘
波包内任意点的状况，使用相对于代表点而言的位矢．显然，波包上的点在实验
室参考系中的位矢，应当等于这些点在固有参考系中的相对位矢与代表点在实验
室参考系中的位矢之矢量和．
    一旦代表点的位置被选定在实验室里的某个点上，波包上的点在实验室参考
系中的状况也就完全确定了．但代表点的位置是随机性的，因而波包在实验室参
考中的波函数应当等于随机性脉冲函数与粒子固有波函数的卷积积分．
    值得注意的是：随机性脉冲函数是由随机性脉冲组成的，每个脉冲都是用狄
拉克δ函数描述的，因而随机性脉冲函数与固有波函数的卷积积分实际上是固有
波函数的线性组合．在有了这样的认识之后，就按以下步骤来处理：
    １）将完备的波函数在四维空时内展开成傅里叶积分．
    ２）将德布罗意公式代入上述傅里叶积分．
    ３）将总能量算符和四维拉普拉斯算符（即四维空时中的与三维空间内的拉

                                 .37.


普拉斯算符相当的算符）作用于上述用傅里叶积分描述的波函数．如此得到的方
程一般仍应具有积分形式，但因随机性脉冲函数具有特殊性，所以如此得到的方
程实际上已经是本征函数的偏微分方程(见《述评》p.810，注意：初版(36)式等
号右边漏了一个负号，(37)式中的静止能量平方项前面的负号应改为正号)．
    ４）将狭义相对论中的动量－能量守恒方程代入上述偏微分方程，就能得到
粒子在自由空间的运动方程．
    ５）将上述运动方程应用于势场中的局部惯性系，然后利用广义相对论提供
的引力效应因子，就能得到粒子在势场中的运动方程．
    ６）上述粒子在势场中的运动方程中的粒子能量，就是指德布罗意公式描述
的粒子能量，是把粒子的固有静止能量包括在内的．如果扣除静止能量，那么就
得到著名的薛定谔方程．
    一旦导出了薛定谔方程，那就不仅意味着基本上完成了量子力学的推导，也
不仅意味着让量子力学回到了因果决定论的立场，还意味着在统一场论方面基本
上达到了爱因斯坦在１９１８年提出的“把力学、电动力学和量子力学统一在单
一的逻辑体系里”的指标．
    ２０００年８月，我在《述评》中增添了“探索篇”．
    全书完稿之时，回想起１９６０年初次与戴文赛先生见面时的谈话以及后来
所走过的道路，颇有感触，于是填了一首“醉太平”词：
            壮志易立，知音难逢．幸得先生激励，百折仍从容．
            评千年事，留万古风．自古新说和寡，不图眼前功．


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My ideal:
Science is my profession;
Philosophy is my training;
Art is my hobby.
的粒子能量，是把粒子的固有静止能量包括在内的．如果扣除静止能量，那么就
得到著名的薛定谔方程．
    一旦导出了薛定谔方程，那就不仅意味着基本上完成了量子力学的推导，也
不仅意味着让量子力学回到了因果决定论的立场，还意味着在统一场论方面基本
上达到了爱因斯坦在１９１８年提出的“把力学、电动力学和量子力学统一在单
一的逻辑体系里”的指标．
    ２０００年８月，我在《述评》中增添了“探索篇”．
    全书完稿之时，回想起１９６０年初次与戴文赛先生见面时的谈话以及后来
所走过的道路，颇有感触，于是填了一首“醉太平”词：
            壮志易立，知音难逢．幸得先生激励，百折仍从容．
            评千年事，留万古风．自古新说和寡，不图眼前功．



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