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标  题: 古典物理学原理\第五章、不可逆原理5
发信站: 哈工大紫丁香 (2004年02月26日12:28:56 星期四), 站内信件

第五章、不可逆原理
(五）
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下面研究的不是熵和自然界中过程不可逆性之古典理论的物理原理，而是这些学说的数
学基础及对其进行公理化的尝试。本世纪前二十年一直进行的这种尝试应当说实际上开
始于上世纪九十年代。1898年，希列尔尝试从表征热交换器的可逆和不可逆的教学关系
推出熵存在及熵的增加。[54]根据这种思路，绝对温度的数量表征就作为热量表示式的
积分因子出现。然而为能使绝对温度起到把熵作为态函数而提出的积分因子的作用要做
出哪些假设呢？希列尔假定选择下述基本公设之一作为出发点：
Ⅰ．要是某物体只是温度改变，那么只有消耗传入该物体之热量方能实现这一变化。
Ⅱ．对某物体来说不能选择出那样一种可逆的，参数变化同温度无关的循环过程，且借
  助于此过程实现温度之连续升高或降低的目的。
Ⅲ. 当用ｎ个独立参数表征的物体状态经历可逆绝热变化过程时，对上述参数量中任一
参量而言若余下的ｎ－１个参量均回复到起始数值，则此参量也必回复到起始数值。这
就是说上述过程进行时每一参量均可由其余参量所决定。
希列尔指出，这些公设中的每一个都同热量不可能无补偿地从冷的物体传向热的物体（
克劳胥斯公设）等价的。也和第二类永动机之不可能（汤姆逊公设）等价。汤姆逊的看
法可当作第三种提法看待，即当物体状态经历可逆绝热过程时，每一个参数均可通过其
余参数单值地决定。当n－1个参数x1，x2，x3．．．xn又回到起始数值时温度x1＝T同样
也回到起始数值。这就是说温度和中间数值无关，也可以说和以前的历史无关，它是由
物体状态决定。希列尔这样写道：“实现这一要求首先要使温度增量不依赖状态参量之
中间值，即绝热过程中任何一处的温度是由这些相应参数的函数所决定……显然，这一
情况对应于方程有积分这一条件。”这里所说的就是绝热过程方程。倘若采用希列尔的
公设，可逆热交换表示式必须有积分因子，因此希列尔认为他的公设是公理化地推出热
力学第二定律的基本公设。在廿世纪前廿年中出现了一系列本质上类似，大多数是从数
学方面研究使熵的学说公理化的尝试。值得注意的是这些尝试同表征可逆和不可逆循环
数学关系之几何表象联系在一起。积分因子的概念以及其他此处尚未提到的数学概念都
得到了更为严谨和富有成效的形式。这将使揭示原先还不明显的某些物理关系成为可能
。
1909年，卡拉杰奥多里[55]提出热力学第二定律的一种新根据。他意欲回避那些带有假
设性的动理学概念而只限于使用能观测的量，即体积，压力还有物体的化学成份。卡拉
杰奥多里理论所排除的那些量一般来说是可观测的，不过只有引入足够的，超出唯象宏
观热力学范围的概念才有可能谈得上测量和测量结果。
卡拉杰奥多里这样写道：“可以这样提出问题，究竟应该用哪种方式建立唯象热力学才
能使计算时只使用直接测量的量，即体积，压力还有物体的化学成份呢？”[56]这里所
说的是从本来意义上直接测量的热力学量。按卡拉杰奥多里的说法运用那种热力学自身
的唯象的量和概念是否能推出热力学第二定律或严格地说推出其核心概念--熵的存在呢
？卡拉杰奥多里用很抽象，而且从数学上来看是很优美的形式解决了这一课题。所谓数
学上的优美是指基本前提数目不多而且有普遍性。就物理而论，基本假设可归结为以下
情况，即对由两种液体构成的系统进行分析研究。这两种液体以一间壁隔开。这个间壁
视需要可以认为是透热的或是绝热的。该系统可通过可逆绝热过程达到的某一状态。但
是对每个通过可逆绝热过程达到的状态要假定其周围存在的都是不可能用可逆过程实现
的状态。在绝热地达到状态周围的状态只能通过不可逆过程方可达到。在以绝热过程所
能达到之状态周围的状态绝不能通过绝热过程到达，这一假设是卡拉杰奥多里之唯一基
本公设，以此为出发点则热力学第二定律之重要结论，即作为态函数的熵之存在就可用
数学推导出来。
虽然卡拉杰奥多里的理论在结构上如此优美，数学上正确无疑，物理上无懈可击（没有
超出唯象的热力学范围假设），但依旧受到一系列批评指责。普朗克，索莫菲尔德和其
他一些物理学家指出，在这一理论中温度概念失去直接的物理意义。当然，这里所指的
不仅仅是温度了。在卡拉杰奥多里的理论中没有把热力学和动理论联系在一起的唯象的
热力学概念，但是把热力学和热之动理论无可争议地加以区分的时候，正是它们的联系
提供了更大的启发作用而且了也使明确热力学理论之物理内容的界限成为可能。物理内
容和物理意义的保持具有统计代表性。倘若量的某种秩序得以保持，则数学上无可非议
的理论就具有物理意义了。从玻尔茨曼研究热力学第二定律的观点来看，只有动理论表
象才能决定唯象的，连续化热力学表象的适用界限。
对分子数目不大的情况来说，热力学第一定律是有意义的，而且第二定律就没有意义。
比如，起伏就不能提供实现为热力学第二定律所支配之循环的可能性。从卡拉杰奥多里
的观点出发，由数目不大的分子所构成的系统要是不做出足够多的假定就无法排除在外
。卡拉杰奥多里看出，在热力学第二定律的论证上，他的理论之优点是同很少的启发价
值联系在一起，也就是同第二定律应用部分联系的可能性很小。在援引前述批评意见之
后，卡拉杰奥多里这样写道:依据直接测量的理论无可争议，在数学上也是成功的，但没
有给研究者提供什么东西。这种理论依据的假设数目最少“但从研究者的观点来看，不
只由于理论中温度是做为导出量出现的，而且首先由于在此理论中不允许在可看见，可
触及的世界和原子世界之间建立任何联系的人为壁垒，从而使这些优点没有多大实用意
义了。”[57]
对卡拉杰奥多里的批评中，我们研究一下普朗克的见解。这个见解可以认为是试图以最
少的公设推出热力学第二定律，但不同于卡拉杰奥多里做法的另一种基本出发点。在《
论热力学第二定律之基础》[58]这篇论文中，普朗克把克劳胥斯，汤姆逊的熵的规律(对
理想气体的循环过程)和卡拉杰奥多里的熵规律(存在着以绝热方式无法到达其邻近状态
的各个状态)进行了比较。就如1884年赫姆霍茨提出的那样[59]，绝对温度和熵的概念可
以根椐形式化的数量关系所确定，即在所有热量微分的积分因子中，绝对温度只取决于
任何一温度计标出之温度。这样就有可能公理化地定义某些以后成为熵的数学理论体系
的一系列量。
然而，普朗克并不满足于公理化地定义熵和绝对温度以及推出热力学第二定律。问题并
不是在熵原理之先验的逻辑论证和实验后验论证间如何抉择。任何一种可以据其推出热
力学第二定律的数学抽象归根到底都要反映出实验结果。倘若物理学还不打算失去和自
然的联系，那么照普朗克的说法或者必须直接从实验提出基本原理或者把根据基本原理
的推论同实验比照。从第一种方法的观点（从实验直接推出原理）来说，汤姆逊对热力
学第二定律的论证就有这种明显的优越性。根据屡次检验的，完全可靠的，而且被无数
实验所证实的，决定过程之不可能性，分析循环过程以推出热力学第二定律。相反，通
过绝热过程无法达到相邻那些状态却不能用实验直接检验。“…无论是谁还不能提供以
用绝热方式达到任一确定状态的所有相邻状态为目的经验。”[60]其实可以用q一种方式
达到和实验相符合，即把从卡拉述图多里公式中得到的个别结论同已知事实相比照这里
用第二种方法可以实现和已知实验进行比照，“…在我这里还保留有第二种方式，并且
在已知情况下还有对第二定律个别结果的许多实验验证。这些结果，凡是可以根据汤姆
逊定理推出，同样也能由卡拉杰奥多里的原理推出。”[61]
我们先要指出，大概不能把卡拉杰奥多里的观念和公理化的第二定律总体上同实验的联
系归结为从实验上a postepriori（后验地）证实根据这些观念a priori（先验地）导出
个别结论。当然，要是把某些已知的实验事实提高到普遍抽象的地位，那么，绝热地过
度到相邻状态的不可能性就是对这些事实的总括。汤姆逊的原理则是用抽象的方式使得
在涉及某种热机时得到的结论得以普遍化。
照我们看来，后来普朗克评论热力学第二定理的想法是更为重要的，普朗克谈到了容许
比自由度较小的系统有更大之起伏偏离第二定律的统计特征。汤姆逊的论证（利用单源
热机之不可能性）显然不适应于力学自由度小的物体系统。“…因此，在这样的系统中
，比如，由十个分子构成的气体无论在热能与机械能之间，还是在高低温之间都无法加
以区分。”[62]汤姆逊原理无法运用于这样的系统，当然，也就表明在这一原理和微观
规律之间不存在什么矛盾对立。
卡拉杰奥多里原理就是另一回事了。它并不是明显的宏观近似，正因为如此，这将和另
一原理发生矛盾。这一原理就是在孤立系统中经历一段时间后能以任意的程度近似达到
每一个可能的状态（满足能量守恒定理的条件下）。这样，需要对卡拉杰奥多里原理作
出一定限制。从另一方面来说，也就是需要补充假设，以指出如何区分可达到的和不可
达到的邻近状态。
很难全部同意普郎克的见解，并且认为他所指出的汤姆逊原理和卡拉杰奥多里原理之间
的区别就是最根本的。这两个原理全都要求一定的限制和补充条件。在汤姆逊热力学第
二定律的论证中，温度是以明显的形式作为宏观概念而出现的，这个概念的局限性和对
该系统之不适用性完全不包括在它里面也不是为热力学本身所固有。只有从唯象的热力
学过渡的气体动力论时或更确切地说只有不得不用气体动力论补充唯象的热力学中的数
量关系时，温度这一概念才局限于宏观范畴。“不能制造那样一种只利用单一热源就得
机械功的热机”这是根据研究发动机的经验做出的结论。而这一结论只有试图把它和力
学联系在一起时，才成其为局限于宏观范畴的结论。但是这种联系只能在微观尺度上，
也就是在分子运动的力学中才能找到。所谓概念的宏观局限性只有在唯象的热力学和动
力论之间发生冲突时，并且这种冲突指出不可逆原理的统计意义时才表现出来。
汤姆逊对第二定律论证之逻辑上的特征是同热力学和气体动力论的历史发展过程相适应
的。概率的概念是在汤姆逊以后引入物理学的。没有概率这一概念无论热力学和气体动
力论的联系还是它们之间的矛盾，即所谓热力学的宏观局限性都不可能揭露出来。从麦
克斯韦，玻尔茨曼，吉布斯等人所得到的认识回溯卡诺原理就可以发现用宏观尺度所限
制的不可逆性的观念。然而，从历史上看，无论是卡诺、汤姆逊，还是克劳胥斯都没有
根据对不可逆性之统计解释和概率及起伏的概念提出宏观局限性。
从这一观点来看，有必要对卡拉杰奥多里原理再次评论。普郎克把卡拉杰奥多里原理和
准各态经历假说对立起来，也就是同孤立系统中能够以任意近似程度达到满足能量守恒
原理的各个状态的论断对立起来。普朗克要求对区分可以达到的邻近状态和不可以过到
的邻近状态的标志做进一步补充说明。然而由此得出的结论都显示出进一步发展卡拉杰
多里思想的可能性。正如后面将见到的那样，这一词题由于艾仑菲斯特和阿凡那西也娃
——艾仑菲斯特的工作而得到发展。
依据宏观规律并且得到宏观实验结果支持的，对不可逆原理的每一种论证，倘若它里面
包含有概率的概念，那就可以提出不可逆性适用界限的特征。普朗克提出了他自已对热
力学第二定律的论证。其原理深刻、优美，这是因为对不可逆过程而言，他把可以达到
之状态的概念和有较大概率之状态视为同一，而对不可逆过程则假定状态是等概率的。
这样也就指明了不可逆性的界限。比较包含一个物体，然后是两个物体系统的不同状态
是有实效的，也是很精细的。
普朗克在分析了卡拉杰奥多里的概念并阐述了对不可逆原理所进行的另一些论证之后，
[63]又返回到十五年前在有关热力学第二定律的著作中曾经提出的观点，并且对前面提
到的论文《论热力学第二定律的基础》和理论物理教程中相应部分作了发展。[64]
如前所述，每一种指明热力学第二定律物理界限的论证都要依靠从统计上解决热力学和
动力论间的冲突才能成立。奥斯特瓦尔德和另外一些唯象的，形而上学的代表人物拒绝
动力论表象，并把热力学第二定律归结为能量“贬值”的概念。照此定义所谓能量的“
价值”是能量从一种形式转化为另一种形式之可能性问题。机械能可以完全地转化为热
量，而热量却只能部分地转化为机械能，而且此时一定有扩大热量均匀分布的复杂过程
与之伴随。可是按照普朗克的说法，热力学第二定律的这种表象没有包容问题的实质。
完全可以想象出热量全部转化为功的过程。普朗克用下述情况证实这一问题。由于热量
从某个比气体还热的热源传到气体，则气体膨胀作功且温度不变。此时气体的温度和能
量不变。这意味着从热源中取得的能量完全变成气体膨胀时所完成的机械功，而没有任
何其他能量转化，热源可以全部转化为机械功同时也没有温度分布的代偿性变化。
普朗克由此得出热力学第二定律的另一种论证。他强调指出，从根据更普遍的原理推出
热力学第二定律的意义上说，这里不可能提出任何证据。如果要说这个原理的证据，应
当说它是从单一的，更普遍的，而且是可靠的实验事实推引出来。这个可靠的，由经验
证实的原理就是不可能造出冷却某个热源以提升重物作周期运行的机器。这种机器（第
二类永动机）和另一种做功的机器（第一类永动机）不同，这种机器的存在不涉及能量
守衡定律。如果我们安装这样一部只依靠单一热源就可做功的机器，我们就有可能利用
与温差无关的，取之不尽的热源的贮藏。第一类永动机不可能，表时运动即不能创造，
也不能消失。第二类永动机之不可能是没有这样一种可逆性，即消耗机械功而升高热源
温度的机器是完全可以实现的。在每一种情况下，摩擦由于消耗机械功而使温度升高。
要是补偿这种和摩擦连系在一起的功变热的转化过程，则需要使热再转化为功，于是又
回复到起始状态。下面以焦尔所利用过的，做出热的机械当量的仪器为例。在此装置中
，重物下落而使容器中的水变热。能否靠水之冷却把重物提升到起始高度以使这一切都
回复到原来的情况呢？要是有这种使世界回复到起始状态的可逆过程，那么第二类永动
机也就可以实现了。因此，实现这种机器的不可能性也可表示为有摩擦的完全可逆过程
是不能实现的。有摩擦的，或一般说机械功转化为热量的过程之不可逆性与第二类永动
机之不可能性是等价的。必须强调指出，这里所谓可逆性的意思不单指能够使参与所论
过程的物体回复到起始状态，这种复原从原则上看永远可达到。这里所谓可逆性要求整
个自然界都回到起始状态。倘若所论过程之逆向进程在不直接参与该过程之其他物体状
态不发生相应变化就不可能进行时，此过程才叫做不可逆过程。
过程之不可逆性用终态概率大于初态概率来判定，普朗克把它称之为“热力学概率”或
叫“热力学（不同于力学）权”。这种表示的意义下面将予以阐明。
普朗克研究了系统的两个状态Ｚ和Ｚ′，分析了从状态Ｚ过渡到状态Ｚ′的过程，并且
还分析了系统回到状态Ｚ′后外界不发生任何变化之逆向过程。要是系统包括了自然界
中全部物体，这个条件显然就不存在了。如果状态是等概率的，则ＺＺ′这种过渡是
可能的。倘若Ｚ′的概率大于Ｚ的概率只有Ｚ→Ｚ′这种过渡是可能的；倘若Ｚ的概率
大于Ｚ′的概率，则只有Ｚ′→Ｚ这种过渡是可能的。
现在设想宇宙状态Ｚ和Ｚ′的区别只是因为它里面一个物体的状态不同所造成的。当发
生ＺＺ′过渡时，自然界中其余物体则不改变其状态。设所论物体在物理上是均匀的
，即宏观的最小成份彼此相同。物体的状态就由其体积和温度所决定。设状态Ｚ时的体
积是Ｖ温度是Θ，而状态Ｚ′则相应为Ｖ′和Θ′，其次假定物体的能量在状态Ｚ为Ｕ
，在状态Ｚ′为Ｕ′。一般说来这两个能量有可能不同，且此时由于在系统中有某个可
以改变其高度以补偿Ｕ′和Ｕ之差的重物存在，所以能量守恒定律将会保持下来。即：

   G（h—h'）=U’—U
普朗克研究物体由状态Ｚ过渡到状态Ｚ′时假定这种过渡是可逆的，而且是以绝热形式
进行的。根据热力学第一定律，这一条件是：
                              dU+pdv=0
此时左方表示并不是全微分。普朗克为使其变为全微分就应除以一个“积分”Ｎ，它是
温度Ｔ和体积Ｖ的函数，从而得到以下这些独立变量之新函数Ｓ，即：
显然，Ｓ是物体的态函数，普朗克建议叫Ｓ为熵，并且也只是把上述情况认为是熵的定
义。这个定义还不是单值的，有许多个Ｎ值使量dS成为全微分，普朗克取Ｎ＞０的条件
继续进行证明。在可逆的绝热过渡 Z Ｚ′ 时，U＋PdV除以Ｎ的商ｄＳ要等于零，这时
熵Ｓ乃是常量。现在我们假设当Ｚ→Ｚ′时，体积Ｖ变到体积Ｖ′，物体的能量U变到U
*。相应地代偿能量改变之重物Ｇ从高度h变到高度h*。这就出现消耗或是引起只与上升
高度有关的能量释放。一般说来有星号的U*，h*和带撇的量Ｕ′，ｈ′是不同的。在个
别情况下，当U*＝Ｕ′，h*＝ｈ′时，物体达到状态Ｚ′。显然也可以从状态Ｚ′过渡
到状态Ｚ。这里的可逆过程使状态Ｚ和Ｚ′是等概率的。
在U*＜U‘时，即从状态Ｚ过渡到状态Ｚ′时物体的能量不能达到Ｕ′，则过渡Ｚ→Ｚ′
将不再是可逆的。若所论物体（保持体积不变）在重物从高度h*（此时位于较高处）降
落到ｈ′时因摩擦而变热的话，状态Ｚ′是可以达到的。然而靠摩擦而形成的热量是不
可逆的，在这种情况下表明Ｚ→Ｚ′过渡是不可逆过渡，即状态Ｚ′比状态Ｚ具有更大
的概率。
最后，我们研究U*＞Ｕ′的情况，换言之，即研究状态Ｚ′有更大能量的情况。与此相
应的代偿能量变化之重物Ｇ应达到低于ｈ′的高度。这种过渡似乎使第二类永动机的实
现成为可能，正如经验指出的那样，这一情况实际上是不可能实现的，因而我们应当认
为状态Ｚ′的概率小于状态Ｚ。
列举上述情况后，普朗克以研究了每一种情况下熵变化的情况。若体积Ｖ不变，即ｄＶ
＝０则从Ｎ＞０时的熵表示式应该得出熵要象能量一样发生变化的结果。当体积是Ｖ′
，能量是Ｕ*时熵将保持其起始数值Ｓ不变，因为在可逆绝热过程中Ｓ等于常数。在体积
是Ｖ，能量是Ｕ′时，熵值达到Ｓ′，其变化象能量一样，即Ｓ－Ｓ′和Ｕ*－Ｕ′同号
。前面讨论的第一种情况熵不变，第二种情况增加，第三种情况减少。
普朗克下面的讨论是研究对积分因子Ｎ的定义。Ｎ被定义为温度ｔ的某个函数Ｔ，且在
ｔ＝０和ｔ＝100时Ｔ的差为100。这个条件和用Ｔ去除Ｕ＋ＰｄＶ时，  成为全微分这
一条件一起构成了Ｔ的定义，以此方式决定的量Ｔ叫做绝对温度。
在补充了熵之公理化的定义之后，普朗克得到以下结论：“……在自然界中所发生的每
一种过程都要朝着这样一种方向进行，即参与过程之全部物体的熵之总和是增加的。在
极限情况下（即可逆过程）此和不变。简言之，熵是概率测度”。[65]
在普朗克这些概念的深处，第二定律进一步公理化的尝试之基本出发点是卡拉杰奥多里
的观念。进一步的研究指出，形成热力学第二定律的两个基本点，熵的存在与熵的增加
在逻辑上是独立的。1928年，阿凡那西也娃—艾仑菲斯特把dQ的表示式存在积分因子的
主张和实际绝热过程熵之一贯增加的主张加以清晰区分之后，在热力学第二定律公理化
的道路上又迈出了重大的一步。[66]此后她又严格定义了可逆与不可逆过程、热量、绝
热过程、绝热的孤立系统以及一些其它概念。
阿凡那西也娃—艾仑菲斯特用准静态（卡拉杰奥多里）或准变化过程来替代可逆过程这
一术语。对通常所说的不可逆过程她叫做非静态过程，因为其不可逆性是要加以研究的
问题。如果系统从一个状态如此缓慢地变化到另一个状态以至我们可以把状态认为是平
衡态，那么这种变化过程将是准静态的。平衡态是由某些“状态参量”x1，x2，…，xn
所决定的状态到被参量x1+dx1，x2+dx2，…，xn+dxn决定的状态之无限小的过渡所构成
的。实际过程是非静态过程，这是一系列非平衡态。
系统获得的热量dQ等于系统内能之无限小的变化dU和系统对外界所做的功的总和。它由
参量x1，x2，…，xn的起始值及其变化dx1，dx2，…，dxn所决定。若用Y1，Y2，…，Y
n代表决定系统结构之参量x1，x2，…，xn的函数，则可写出：
                     dQ=Y1dx1+Y2dx2+…+Yndxn
普朗克并未停留在研究积分因子Ｔ的存在问题上，他还计算出理想气体  的表示式，并
指出该式是全微分，然后又从理想气体过渡到其他系统。普朗克对熵的增加，尤其是对
热力学第二定律的基本内容很感兴趣。阿凡那西也娃—艾仑菲斯特证明了积分因子的存
在乃是一个与熵的变化之不可逆性无关的，独立的问题。同样，熵的增加并不能根据熵
的存在，即根据dQ通过dx1，dx2，…，dxn的表示式存在着积分因子面被推导出来。
在对问题的两个方面加以分析之后，阿凡那西也娃─艾仑菲斯特发展了她对不可逆性的
概念。她引入了元不可逆性和第二类不可逆性的概念。所谓元不可逆性是指实际的，非
静态过程的不可逆性。然而这种不可逆性和非静态概念本身并不一致，并且可以从两个
公理推导出来；一个是非静态过程没有可逆性，另一个是不可逆性由其过程进行方向所
决定。第二类不可逆性可由准静态过程的特性和相应的公理推导出来，且与熵的存在有
关。熵的增加则取决于由实际过程的单向性所决定的元不可逆性。
在廿世纪廿年代，目的在于对热力学第二定律加以公理化的一系列数学和物理的研究工
作其历史根源不能归结为热力学，气体动力论和统计力学之内在需求。当然，热力学课
题之不断增长的多样性和共性要求对熵的学说的基础进行整理。然而这些要求还远远不
能决定在论证热力学第二定律的领域中研究工作的节秦和方向。这种节秦和方向很大程
度上取决于本世纪初数学方法和物理观念的普遍发展情况。对热力学第二定律加以公理
化的趋势是普遍的，它是包括物理和数学之总发展趋势的一部分。这种总发展趋势的根
源同样也不能归结为发展过程的内部力量，不能归结为在全部科学领域中所提出的日益
增多的，形形色色的课题的及为解决这些问题的更普遍的方法。毫无疑问，对公理化的
兴趣反映了被相对论激起的对空间，时间和运动系统的革命。公理化之数学方法的物理
根源赋予数学一些特殊的又决非上个世纪力求把物理学加以公理化的那种工作的色彩。
在十九世纪，所谓公理化通常理解为对先验的，似乎是可以推出全部物理学内容的那些
概念和数量关系之简要陈述。这种先验的公理化也正是康德在《自然科学之形而上学原
理》中继承十八世纪物理学先验地加以公理化的那种式样。
在十九世纪就已提出公理的概念（现时经常叫做公设）并把公理应用于可用实验加以确
定的范围之中。在十九世纪后半期这种概念还只是一种不十分确定的推测。从本世纪开
始，尤其是到本世纪廿年代，情况完全变了。广义相对论提出作为物理学基础的基本几
何学公设只适用于某些确定的领域。引力场这一事实（也就是天文观测和物理实验的结
果）正是确定其适用性的准则，这就是所谓物理几何学。希尔伯特和耐特尔的工作使得
根据空间时间的均匀性和各向同性。甚对根据更为抽象的，关于这样或那样变换群的拉
格朗日协变性的概念能够推导出守恒定律。作为“存在”的准则与其说是数学的自恰性
不如说是物理上的适用性。在科学上“存在”之新的物理概念开始表现为含蓄的，而以
后就变得鲜明了。
十九世纪的科学在抽象的，尤其是在多维几何学范围以及其他数学领域提供了深刻的，
精致的理论体系，但是这些数学理论体系暂时还没有在物理学中得到使用，直至廿世纪
它们才获得了物理解释。与此同时，在几何学和数学中，公理化的观念也更接近于物理
学，而且在很大程度上减弱了其原有的先验的绝对性。
热力学第二定律的公理化主要依靠抽象几何的发展。在前面阐述卡拉杰奥多里，阿凡那
而也娃—艾仑菲斯特的物理观念时我们尚未涉及到问题的这一方面。不过抽象几何学是
很重要的。热交换过程的不可逆性可以表示为要求绝热线不相交或更一般地表示为一定
的几何假设。倘若把不可逆性表示为这种几何关系，则热力学就可运用研究抽象几何学
所获得的成果了。我们记得，这些研究工作本身从历史上就是和把几何形象运用于十九
世纪物理学，尤其是同开始把古典热力学广泛地几何化的吉布斯观念联系在一起的。
卡拉杰奥多里、普朗克、艾仑菲斯特、阿凡那西也娃—艾仑菲斯特和其他物理学家在本
世纪卅年代曾以几何形式对热力学第二定律加以公理化，他们总结并大大推广了不可逆
性和熵的概念。然而在科学和实践的新需求影响下，在本世纪中期又开始了对这些概念
的更进一步的总结和推广。从沙地·卡诺起直到本世纪廿年代熵的学说经历了整整一百
年的历程，这也正是对研究热机时所观察到的结果之持续不断的认识和总结。无论数学
理论体系或是宇宙的物理假说距离热机何等遥远，可是这些方程之物理等价物仍旧是热
从热源传到发动机然后传到冷凝器这一过程。某些数学概念尤其是多维抽象几何形式使
得在经验基础上建立更为普遍的上层建筑成为可能，现在已然到了扩展其自身基础的时
期了。
如果说本世纪廿年代对热力学第二定律的公理化有了更为迅速地进展，那么和热力学第
二定律更进一步的推广联系在一起的数学和物理的思想就是卅年代和四十年代的特征了
。前面列举的那些公理化的尝试其目的是要获得数目最少的，最普遍的而且是自恰的，
用于解释热量从较热物体不可逆地转移到较冷物体的公设，以及在这种传递过程中补偿
过程的必要性和第二类永动机的不可能性。当前（指1958年—译者）热力学的一般问题
是把平衡的概念应用于整个宇宙，并把熵的概念推广到那样一种过程，在此过程中用其
概率给出的事件的不确定性由试验，以及建立不可逆过程热力学的作为自然界中实际过
程的（以有限速度发生的）普遍理论而变成为确定的。下面就来研究这些问题。
本世纪三、四十年代的宇宙热力学是同玻尔茨曼的宇宙起优理论一脉相承地联系在一起
的。然而基础则是发生于本世纪廿年代爱因斯坦（1917），弗里德曼（1922）[67]和一
系列其它工作建立起来的相对论宇宙论。在卅年代运用扩展的和脉动的宇宙分析熵的概
念和不可逆性问题时托尔曼得出整个宇宙是单向的，不可逆的，同时也是无穷尽进化的
结论。宇宙熵的增加是无限制的。这种单调的增加不会导至平衡态，与平衡态概念相应
的最大熵值不适用于整个宇宙。
在廿多年过程中相对论热力学在此领域中并未得到公认的单一意义的结果。但是却提出
一系列新的、反热寂论的无可置疑的论据。不过热寂论早己成为一种历史陈迹了。至于
说到无限宇宙热平衡的概念（这种观念和热寂论并不一致）那么却给托尔曼的论据添加
一系列新的，但尚未得到最终解决的问题。
玻尔茨曼的宇宙从总体上看不仅是可以而是已然达到了热平衡状态，只是由于在超星系
尺度上破坏平衡的巨大起伏所以才未能导致热寂。但是，无论玻尔茨曼如何描述，无限
的宇宙并没有经受单调的不可逆进化过程。无限的宇宙没有经过热寂，因为作为整体，
它没有经受过“热的生涯”；没有经受过热量的重新分布和从一个宏观状态过渡到另一
个宏观状态的过程。从这种意义上说没有达到平衡的宇宙的“活动”的部分可以包括许
多银河系，然而和宇宙以及宇宙的“生涯”相比较已是太小，太小了，以至可以认为隐
匿不见，这乃是静止海洋表面的一丝涟漪。但是这个海洋是否具有单一方向的变化进程
呢？或者说能不能认为是一条无限宽阔的长河呢？是不是也存在着不可逆时间概念之宇
宙等价物呢？玻尔茨曼的理论既未排除也没有研究这种可能性。整个处于平衡中的宇宙
可以认为是局部起伏的无限的背景，而这种局部起伏展现了随着熵增加的不可逆过程，
而在此之前，局部的起伏却又是可逆过程。星系和星系间的起伏就象布朗运动出现的起
伏一样同样可以稍稍破坏一下它的平衡。

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学习的目的是什么？是为了生活，珍惜生命，
如果为了学习而错过了许多生活中美好的东西，
有些得不偿失。
生活与学习都是过程，要一边走一般看，
学习生活两不误才能够成完美的生命。

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