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发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Physics
标  题: [转载] 引力的全息性质一
发信站: 哈工大紫丁香 (Sat May 24 13:21:02 2003) , 转信

发信站: 瀚海星云

\subsection{Cardy-Verlinde公式和它的检验}
1986年，Cardy证明了在$1+1$维圆柱表面
\be
ds^2 = -d\tau^2 +R^2 d\phi^2 , 0\leq \phi\leq 2\pi ,
\label{ds4}
\ee
上的共形场论(CFT)，它的熵(S)可用如下公式表示
\be
S=2\pi\sqrt{{c\over 6}(L_0 -{c\over 24})},
\label{S}
\ee
其中$c$是CFT的中心荷，$L_0 =ER$，$E$是CFT的能量，$R$是这个圆柱的半径。
$c/24$是Casimir效应造成的移动，这个公式(\ref{S})常称之为Cardy公式。
Cardy公式仅在$1+1$维时成立，这是因为在推导过程中Cardy用到了在圆环上的
配分函数的modular不变性。非常有趣的是，最近E.Verlinde发现经过一个适当的修改，
标  题: [转载] 一
发信站: 瀚海星云 (Tue May 20 19:21:58 2003)

【以下文字转载自 Universe 讨论区】
【原文由 cloudpine 所发表】

\subsection{Cardy-Verlinde公式和它的检验}
1986年，Cardy证明了在$1+1$维圆柱表面
\be
ds^2 = -d\tau^2 +R^2 d\phi^2 , 0\leq \phi\leq 2\pi ,
\label{ds4}
\ee
上的共形场论(CFT)，它的熵(S)可用如下公式表示
\be
S=2\pi\sqrt{{c\over 6}(L_0 -{c\over 24})},
\label{S}
\ee
其中$c$是CFT的中心荷，$L_0 =ER$，$E$是CFT的能量，$R$是这个圆柱的半径。
$c/24$是Casimir效应造成的移动，这个公式(\ref{S})常称之为Cardy公式。
Cardy公式仅在$1+1$维时成立，这是因为在推导过程中Cardy用到了在圆环上的
配分函数的modular不变性。非常有趣的是，最近E.Verlinde发现经过一个适当的修改，
1.Cardy-Verlinde公式的“推导”
对一个有能量$E$，熵$S$，体积$V$，在温度$T$的
热力学系统，在大多数热力学教科书中，我们可以发现如下关系：
\be
TS=E+PV ,
\label{ts}
\ee
这里$P$是系统的压强。这个欧拉关系事实上暗指着在这个热力学体系中能量$E$和熵$S
$都是广延量。
为看到这一点，设想系统的能量是熵和体积的函数，$E=E(S,V)$。用$\lambda$去标度这

个体系的量，假如$E$和$S$是广延量，则
有：
\be
E(\lambda S,\lambda V)=\lambda E(S,V),
\label{esv}
\ee
这里$\lambda$是一个正的任意常数。方程(\ref{esv})两边对$\lambda$求导，然后设$
\lambda=1$，我们得到
\be
E=V\left({\partial E\over \partial V}\right)_S +S\left({\partial E\over \par
tial S}\right)_V .
1.Cardy-Verlinde公式的“推导”
对一个有能量$E$，熵$S$，体积$V$，在温度$T$的
热力学系统，在大多数热力学教科书中，我们可以发现如下关系：
\be
TS=E+PV ,
\label{ts}
\ee
这里$P$是系统的压强。这个欧拉关系事实上暗指着在这个热力学体系中能量$E$和熵$S
$都是广延量。
为看到这一点，设想系统的能量是熵和体积的函数，$E=E(S,V)$。用$\lambda$去标度这

个体系的量，假如$E$和$S$是广延量，则
有：
\be
E(\lambda S,\lambda V)=\lambda E(S,V),
\label{esv}
\ee
这里$\lambda$是一个正的任意常数。方程(\ref{esv})两边对$\lambda$求导，然后设$
\lambda=1$，我们得到
\be
E=V\left({\partial E\over \partial V}\right)_S +S\left({\partial E\over \par
tial S}\right)_V .
\ee
利用热力学第一定律$dE=TdS-PdV$，我们马上可以发现关系(\ref{ts})式。
定义Casimir能量$E_c$
\be
E_c =n(E+PV-TS),
\label{Ec}
\ee
其中$n$是空间的维度。我们看到，这个Casimir能量测度了能量中非广延量部分的大小
。事实上，可以
证明Casimir能量(\ref{Ec})式暗指着它满足如下的标度关系
\be
E_c (\lambda S,\lambda V)= \lambda^{1-{2\over n}} E_c (S,V) .
\label{e2}
\ee
进一步定义
\be
E(S,V)=E_e (S,V) + {1\over 2}E_c (S,V) ,
\ee
这里$E_e$表示总能量中的广延量部分，引进常数${1\over 2}$仅仅是为了下面的方便。

上面的讨论是一般性的，没有
用到物质的任何性质。现在我们考虑CFT，由于共形不变性，量$ER$仅是熵的函数，不依
\ee
利用热力学第一定律$dE=TdS-PdV$，我们马上可以发现关系(\ref{ts})式。
定义Casimir能量$E_c$
\be
E_c =n(E+PV-TS),
\label{Ec}
\ee
其中$n$是空间的维度。我们看到，这个Casimir能量测度了能量中非广延量部分的大小
。事实上，可以
证明Casimir能量(\ref{Ec})式暗指着它满足如下的标度关系
\be
E_c (\lambda S,\lambda V)= \lambda^{1-{2\over n}} E_c (S,V) .
\label{e2}
\ee
进一步定义
\be
E(S,V)=E_e (S,V) + {1\over 2}E_c (S,V) ,
\ee
这里$E_e$表示总能量中的广延量部分，引进常数${1\over 2}$仅仅是为了下面的方便。

上面的讨论是一般性的，没有
用到物质的任何性质。现在我们考虑CFT，由于共形不变性，量$ER$仅是熵的函数，不依

赖于系统的体积。
这对$E_e$和$E_c$都是成立的。这样，根据标度律，我们有
\be
E_e ={a\over 4\pi R} S^{1+{1\over n}} ,~~~ E_c ={b\over 2\pi R} S^{1-{1\over
n}}
\ee
从上面这个关系，我们马上可以得到
\be
S ={2\pi R\over \sqrt{ab}}\sqrt{E_c (2E-E_c)},
\ee
$a$和$b$是两个常数。在这里我们还不能确定这两个常数，可是对具有AdS对偶的强耦合

CFT，
Verlinde发现$\sqrt{ab}$刚好是系统空间维度$n$。
2.Cardy-Verlinde公式的检验
为检验Cardy-Verlinde公式，我们先考虑Schwarzschild-AdS黑洞热力学。因为根据
AdS/CFT相应性，这个黑洞的热力学应该等价于与它对偶的某个CFT的热力学，所以我们
可以用
AdS黑洞热力学来检验Cardy-Verlinde公式。
一个$n+2$维的Schwarzschild-AdS黑洞的度规是
\be

赖于系统的体积。
这对$E_e$和$E_c$都是成立的。这样，根据标度律，我们有
\be
E_e ={a\over 4\pi R} S^{1+{1\over n}} ,~~~ E_c ={b\over 2\pi R} S^{1-{1\over
n}}
\ee
从上面这个关系，我们马上可以得到
\be
S ={2\pi R\over \sqrt{ab}}\sqrt{E_c (2E-E_c)},
\ee
$a$和$b$是两个常数。在这里我们还不能确定这两个常数，可是对具有AdS对偶的强耦合

CFT，
Verlinde发现$\sqrt{ab}$刚好是系统空间维度$n$。
2.Cardy-Verlinde公式的检验
为检验Cardy-Verlinde公式，我们先考虑Schwarzschild-AdS黑洞热力学。因为根据
AdS/CFT相应性，这个黑洞的热力学应该等价于与它对偶的某个CFT的热力学，所以我们
可以用
AdS黑洞热力学来检验Cardy-Verlinde公式。
一个$n+2$维的Schwarzschild-AdS黑洞的度规是
\be
ds^2 = -f(r) dt^2+ f^{-1}(r) dr^2 +r^2 d\Omega^2_n ,
\ee
其中
\be
f(r) = 1- {\omega_n M\over r^{n-1}} + {r^2\over l^2} ,~~~ \omega_n = {16\pi
G_{n+2} \over n \Omega_n}.
\ee
$M$是黑洞的质量，它也可以用满足方程$f(r_+ ) = 0$的黑洞视界半径$(r_+ )$表达：

\be
M= {r_+^{n-1} \over \omega_n}(1+{r_+^2\over l^2})
\ee
这个黑洞有Hawking温度$T_{HK}$和熵$S_{BH}
\be
T_{HK} ={1\over 4\pi r_+}\left( (n-1)+{(n+1)r_+^2 \over l^2}\right) ,
\ee
\be
S_{BH} ={r_+^n \Omega_n \over 4 G_{n+2}} .
\ee
与Schwarzschild-AdS黑洞相对偶的CFT住在AdS的边界时空里。直到一个共形因子，这个

边界度规能够被
ds^2 = -f(r) dt^2+ f^{-1}(r) dr^2 +r^2 d\Omega^2_n ,
\ee
其中
\be
f(r) = 1- {\omega_n M\over r^{n-1}} + {r^2\over l^2} ,~~~ \omega_n = {16\pi
G_{n+2} \over n \Omega_n}.
\ee
$M$是黑洞的质量，它也可以用满足方程$f(r_+ ) = 0$的黑洞视界半径$(r_+ )$表达：

\be
M= {r_+^{n-1} \over \omega_n}(1+{r_+^2\over l^2})
\ee
这个黑洞有Hawking温度$T_{HK}$和熵$S_{BH}
\be
T_{HK} ={1\over 4\pi r_+}\left( (n-1)+{(n+1)r_+^2 \over l^2}\right) ,
\ee
\be
S_{BH} ={r_+^n \Omega_n \over 4 G_{n+2}} .
\ee
与Schwarzschild-AdS黑洞相对偶的CFT住在AdS的边界时空里。直到一个共形因子，这个

边界度规能够被
确定下来：
\be
ds_b^2 = \lim_{r\rightarrow \infty}  -{r^2\over R^2}ds^2 =-{R^2\over l^2}dt^
2 +R^2 d\Omega_n^2 .
\ee
与度规(\ref{ds41})相比较，再利用Tolman红移
关系，我们可以得到对偶的CFT有如下的能量$E$，温度$T$和熵$S$：
\be
E={l\over R}M ,~~ T={l\over R} T_{HK} ,~~ S=S_{BH} .
\label{sbh}
\ee
将这些关系代入方程(\ref{Ec})，我们可以马上得出
\be
E_c = 2{n l r_+^{n-1}\over 16\pi G_{n+2} R}\Omega_{n} ,
\ee
\be
2E-E_c = 2{n lr_+^{n+1}\over 16\pi G_{n+2} }\Omega_{n} ,
\ee
容易验证这个CFT的熵(\ref{sbh})满足Cardy-Verlinde公式(\ref{S1})。
另一个有趣的例子是Reissner-Nordstr\"{o}m-AdS黑洞，与之相对偶的是一个带R-荷的
CFT。
我们将看到，对于这样一个CFT，其熵也满足Cardy-Verlinde公式。考虑一个$n+2$维的
确定下来：
\be
ds_b^2 = \lim_{r\rightarrow \infty}  -{r^2\over R^2}ds^2 =-{R^2\over l^2}dt^
2 +R^2 d\Omega_n^2 .
\ee
与度规(\ref{ds41})相比较，再利用Tolman红移
关系，我们可以得到对偶的CFT有如下的能量$E$，温度$T$和熵$S$：
\be
E={l\over R}M ,~~ T={l\over R} T_{HK} ,~~ S=S_{BH} .
\label{sbh}
\ee
将这些关系代入方程(\ref{Ec})，我们可以马上得出
\be
E_c = 2{n l r_+^{n-1}\over 16\pi G_{n+2} R}\Omega_{n} ,
\ee
\be
2E-E_c = 2{n lr_+^{n+1}\over 16\pi G_{n+2} }\Omega_{n} ,
\ee
容易验证这个CFT的熵(\ref{sbh})满足Cardy-Verlinde公式(\ref{S1})。
另一个有趣的例子是Reissner-Nordstr\"{o}m-AdS黑洞，与之相对偶的是一个带R-荷的
CFT。
我们将看到，对于这样一个CFT，其熵也满足Cardy-Verlinde公式。考虑一个$n+2$维的
\ee
同时证实CFT的熵满足
\be
S={2\pi R\over n}\sqrt{E_c [ 2(E-E_q) -E_c]} .
\label{epi}
\ee
在四维，五维，七维的规范超引力理论中，渐近AdS的带荷黑洞解也是出现的。这些黑洞

解不同于Reissner-Nordstr\"{o}m-AdS
黑洞，因为在前者中，一些非平凡的标量场极大地改变了黑洞的结构。可是对这些黑洞
，这个带R-荷的
Cardy-Verlinde公式(\ref{epi})被证明也是成立的。
尽管这个Cardy-Verlinde公式(\ref{S2})或({\ref{S1})对许多强耦合的具有对偶的CFT
被证明是成立的，
例如，Kerr-AdS黑洞解，AdS-Taub-Bolt瞬子解，双曲AdS黑洞等。可是，
对弱耦合的CFT，Kutasov和Larsen证明了Cardy-Verlinde公式并不精确成立。

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