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发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Physics
标  题: [转载] 引力的全息性质二
发信站: 哈工大紫丁香 (Sat May 24 13:21:33 2003) , 转信

发信站: 瀚海星云

\subsection{宇宙的熵限制和宇宙的Cardy公式}
1.宇宙的熵限制
一个$n+1$维辐射为主闭的FRW宇宙
\be
ds^2 = -d\tau^2 +R^2 (\tau) d\Omega_n^2
\ee
的标度因子$R$满足如下的方程
\be
H^2 = {16\pi G_{n+1}\over n(n-1)}{E\over V} - {1\over R^2} ,
\label{h2}
\ee
\be
\dot H = - {8\pi G_{n+1}\over n-1 }({E\over V} +P)+{1\over R^2} ,
\label{doth}
\ee
标  题: [转载] 二
发信站: 瀚海星云 (Tue May 20 19:22:11 2003)

【以下文字转载自 Universe 讨论区】
【原文由 cloudpine 所发表】

\subsection{宇宙的熵限制和宇宙的Cardy公式}
1.宇宙的熵限制
一个$n+1$维辐射为主闭的FRW宇宙
\be
ds^2 = -d\tau^2 +R^2 (\tau) d\Omega_n^2
\ee
的标度因子$R$满足如下的方程
\be
H^2 = {16\pi G_{n+1}\over n(n-1)}{E\over V} - {1\over R^2} ,
\label{h2}
\ee
\be
\dot H = - {8\pi G_{n+1}\over n-1 }({E\over V} +P)+{1\over R^2} ,
\label{doth}
\ee
其中哈勃常数$H=\dot R/R$，$E$是物质的总能量，$P$是压强，$V = R^n \Omega_n$
是宇宙的体积，而$\dot  $表示对$\tau$的导数。最近，E. Verlinde发现如果作如下代

换：
\be
2\pi L_0 \Longrightarrow {2\pi ER \over n} ,
\ee
\be
12\pi {c\over 12} \Longrightarrow (n-1){V\over 4 G_{n+1} R} ,
\ee
\be
S \Longrightarrow (n-1){HV\over 4 G_{n+1}} ,
\ee
则Cardy公式(\ref{S})和Friedmann方程(\ref{h2})有完全相同的表达式。进一步定义
\be
S_{BV} ={2\pi ER\over n} ,~~ S_{BH} =(n-1){V\over 4 G_{n+1} R} ,~~ S_{H} = (
n-1){HV\over 4 G_{n+1}} ,
\label{sbsbsh}
\ee
则Friedmann方程可以写成
\be
S_{H} = \sqrt{S_{BH} (2 S_{BV} -S_{BH})} .
其中哈勃常数$H=\dot R/R$，$E$是物质的总能量，$P$是压强，$V = R^n \Omega_n$
是宇宙的体积，而$\dot  $表示对$\tau$的导数。最近，E. Verlinde发现如果作如下代

换：
\be
2\pi L_0 \Longrightarrow {2\pi ER \over n} ,
\ee
\be
12\pi {c\over 12} \Longrightarrow (n-1){V\over 4 G_{n+1} R} ,
\ee
\be
S \Longrightarrow (n-1){HV\over 4 G_{n+1}} ,
\ee
则Cardy公式(\ref{S})和Friedmann方程(\ref{h2})有完全相同的表达式。进一步定义
\be
S_{BV} ={2\pi ER\over n} ,~~ S_{BH} =(n-1){V\over 4 G_{n+1} R} ,~~ S_{H} = (
n-1){HV\over 4 G_{n+1}} ,
\label{sbsbsh}
\ee
则Friedmann方程可以写成
\be
S_{H} = \sqrt{S_{BH} (2 S_{BV} -S_{BH})} .
\label{SH}
\ee
这个量$S_{BV} = {2\pi ER\over n}$的形式让人回想起Bekenstein在上世纪八十年代初

的一个工作：
对一个在三维空间中有半径R的宏观体系，他认为这个体系的熵存在一个上限，即
\be
S \leq S_B = 2\pi ER ,
\label{ssb}
\ee
其中$E$是这个体系的总能量。这个限制(\ref{ssb})就是著名的Bekenstein
熵限制(entropy bound)。尽管人们还没有对这个限制给出一个严格的证明，
但大量的例子证明这个限制是正确的。非常有趣的是，这个熵限制的形式是独立于时空
维度的，
即在任意维度的时空中，这个熵限制具有相同的形式。对一个带电荷的体系，这个形式
必须被适当
的修改，详细情况参见及所引用的文献。
对一个具有弱自引力的宏观体系，这个限制被检验也是成立的。这里的弱自引力指的是
与总能量相比，
这个宏观体系的自能是非常小的（可忽略）。可是，非常有意思的是，如果用一个四维
的Schwarzschild
黑洞质量和视界半径来代替在式(\ref{ssb})
\label{SH}
\ee
这个量$S_{BV} = {2\pi ER\over n}$的形式让人回想起Bekenstein在上世纪八十年代初

的一个工作：
对一个在三维空间中有半径R的宏观体系，他认为这个体系的熵存在一个上限，即
\be
S \leq S_B = 2\pi ER ,
\label{ssb}
\ee
其中$E$是这个体系的总能量。这个限制(\ref{ssb})就是著名的Bekenstein
熵限制(entropy bound)。尽管人们还没有对这个限制给出一个严格的证明，
但大量的例子证明这个限制是正确的。非常有趣的是，这个熵限制的形式是独立于时空
维度的，
即在任意维度的时空中，这个熵限制具有相同的形式。对一个带电荷的体系，这个形式
必须被适当
的修改，详细情况参见及所引用的文献。
对一个具有弱自引力的宏观体系，这个限制被检验也是成立的。这里的弱自引力指的是
与总能量相比，
这个宏观体系的自能是非常小的（可忽略）。可是，非常有意思的是，如果用一个四维
的Schwarzschild
黑洞质量和视界半径来代替在式(\ref{ssb})
中的$E$和$R$，则这个Schwarzschild黑洞的熵刚好是这个Bekenstein熵限制的上限，即

Schwarzschild黑洞
饱和了这个熵限制。注意到Schwarzschild黑洞不是一个弱自引力体系，相反它是一个强

自引力物体。另一方面，在
Einstein引力中，黑洞的
熵正比于视界的面积。据此，$^\prime$t Hooft和Susskind认为在一宏观体积V中，系
统的熵应该
小于等于Bekenstein-Hawking熵
\be
S \leq {A\over 4G} ,
\label{sa4g}
\ee
其中$G$是牛顿引力常数，$A$是体系的表面面积。这个限制(\ref{sa4g})称之为全息性

熵限制。这个限制回答了在一个给定的区域内可以容纳多大信息量的问题。
Fischler和Susskind是首先在宇宙学的范畴里讨论熵限制问题的两位物理学家。受
他们工作的启发，许多作者做了许多工作，试图将这个全息性熵限制(\ref{sa4g})
应用到宇宙学中。不过对一个闭的宇宙，
一个适当的空间边界是缺乏的。另外，这个全息性熵限制(\ref{sa4g})暗指着形成一个
中的$E$和$R$，则这个Schwarzschild黑洞的熵刚好是这个Bekenstein熵限制的上限，即

Schwarzschild黑洞
饱和了这个熵限制。注意到Schwarzschild黑洞不是一个弱自引力体系，相反它是一个强

自引力物体。另一方面，在
Einstein引力中，黑洞的
熵正比于视界的面积。据此，$^\prime$t Hooft和Susskind认为在一宏观体积V中，系
统的熵应该
小于等于Bekenstein-Hawking熵
\be
S \leq {A\over 4G} ,
\label{sa4g}
\ee
其中$G$是牛顿引力常数，$A$是体系的表面面积。这个限制(\ref{sa4g})称之为全息性

熵限制。这个限制回答了在一个给定的区域内可以容纳多大信息量的问题。
Fischler和Susskind是首先在宇宙学的范畴里讨论熵限制问题的两位物理学家。受
他们工作的启发，许多作者做了许多工作，试图将这个全息性熵限制(\ref{sa4g})
应用到宇宙学中。不过对一个闭的宇宙，
一个适当的空间边界是缺乏的。另外，这个全息性熵限制(\ref{sa4g})暗指着形成一个

宇宙大小的
黑洞。Verlinde熵限制(\ref{ec1})式并不直接给出宇宙的熵限制，但与Bekenstein-Ve
rlinde熵限制和
Hubble熵限制比较，它有一个明显
的优点是(\ref{ec1})式对弱自引力和强自引力的宇宙都成立，而Bekenstein-Verlinde
熵限制和Hubble
熵限制分别仅在弱自引力和强自引力
宇宙中成立。
进一步定义一个物理量
\be
T_H = - {\dot H \over 2\pi H} .
\ee
因为在一个辐射为主的宇宙中，$\dot H < 0$，所以这里这个负号的引入是为了确保$T
_H >0$。
另外，我们假定这个宇宙是处于强自引力中，$HR \geq 1$。用这个量$T_H$，则这个FR
W宇宙的
第二个动力学运动(\ref{doth})可以改写为
\be
E_{BH} = n(E+PV-T_H S_H) .
\ee
与CFT的Casimir能量的定义(\ref{Ec})式相比较，再结合Verlinde的宇宙熵限制(\ref{

宇宙大小的
黑洞。Verlinde熵限制(\ref{ec1})式并不直接给出宇宙的熵限制，但与Bekenstein-Ve
rlinde熵限制和
Hubble熵限制比较，它有一个明显
的优点是(\ref{ec1})式对弱自引力和强自引力的宇宙都成立，而Bekenstein-Verlinde
熵限制和Hubble
熵限制分别仅在弱自引力和强自引力
宇宙中成立。
进一步定义一个物理量
\be
T_H = - {\dot H \over 2\pi H} .
\ee
因为在一个辐射为主的宇宙中，$\dot H < 0$，所以这里这个负号的引入是为了确保$T
_H >0$。
另外，我们假定这个宇宙是处于强自引力中，$HR \geq 1$。用这个量$T_H$，则这个FR
W宇宙的
第二个动力学运动(\ref{doth})可以改写为
\be
E_{BH} = n(E+PV-T_H S_H) .
\ee
与CFT的Casimir能量的定义(\ref{Ec})式相比较，再结合Verlinde的宇宙熵限制(\ref{
ec1})式，
我们马上可以得到结论：在$HR\geq 1$时
\be
T\geq T_H .
\ee
即在一个辐射为主的宇宙中，当宇宙处于强自引力时，存在一个极限温度$T_H$，宇宙的

温度
总是大于等于这个极限温度$T_H$。为需要，我们这里重新写下Cardy-Verlinde公式(\r
ef{S1})
和Casimir能量的定义(\ref{Ec})式
\be
S={2\pi R\over n}\sqrt{E_c (2E-E_c )} ,~~~ E_c = n(E+PV -TS) .
\ee
而FRW宇宙的动力学方程变成
\be
S_H = {2\pi R \over n}\sqrt{E_{BH} (2E - E_{BH})} ,~~~ E_{BH}= n(E+PV-T_H S_
H )
\ee
很明显，它们之间存在非常惊人的类似性。这是Verlinde最近得到的最主要结果之一。
当
Verlinde的宇宙
ec1})式，
我们马上可以得到结论：在$HR\geq 1$时
\be
T\geq T_H .
\ee
即在一个辐射为主的宇宙中，当宇宙处于强自引力时，存在一个极限温度$T_H$，宇宙的

温度
总是大于等于这个极限温度$T_H$。为需要，我们这里重新写下Cardy-Verlinde公式(\r
ef{S1})
和Casimir能量的定义(\ref{Ec})式
\be
S={2\pi R\over n}\sqrt{E_c (2E-E_c )} ,~~~ E_c = n(E+PV -TS) .
\ee
而FRW宇宙的动力学方程变成
\be
S_H = {2\pi R \over n}\sqrt{E_{BH} (2E - E_{BH})} ,~~~ E_{BH}= n(E+PV-T_H S_
H )
\ee
很明显，它们之间存在非常惊人的类似性。这是Verlinde最近得到的最主要结果之一。
当
Verlinde的宇宙
熵限制(\ref{ec1})被饱和时，即$E_c = E_{BH}$，则Friedmann方程与Cardy-Verlinde

公式完全一致。注意到Friemann方程是描写宇宙演化的动力学
方程，而Cardy-Verlinde公式是描写充满这个宇宙的辐射的热力学公式（注意到热辐射
与CFT有相同的状态方程），
因此这种一致性是非常惊人的。
这种一致性的背后可能隐藏着非常深刻的含义。可惜目前人们还不能完全挖掘出这里面
的
深刻含义。在下一节，通过讨论一个膜宇宙模型，我们进一步研究它们之间的关系，
显示膜引力的全息性质。

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※ 来源:．哈工大紫丁香 http://bbs.hit.edu.cn [FROM: 202.118.229.86]

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