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发信人: FDTD (放荡*坦荡), 信区: Physics
标  题: 弦论通俗演义（5）
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年05月22日18:04:54 星期四), 站内信件

第五章第一次革命

　　(第一节)

　　超弦在1984 年之前是少数几个人的游戏。在西方，几乎所有研究超弦的人或多或少和
史瓦兹有关，不是他的合作者，就是他的学生，所以可以毫不夸张地说超弦是史瓦兹和他
的朋友们的游戏。米谷民明虽然在1974 年也建议用弦论来描述量子引力，他也摆脱不了潮
流的巨大影响，除了在1975、1976两年中还在研究一点弦论外，基本上去研究规范理论和
大N 展开去了。唯一例外的是1983年中的威顿。他在83年的谢耳特岛(Shelter Island)的
第二次会议上(第一次是二战之后开的)讲卡鲁查-克来茵理论中能否得到在4 维中带有手征
的费米子问题，得到否定的答案。这就基本否定了仅在卡鲁查-克来茵理论中得到粒子物理
的标准模型。他后来说，他本打算谈弦论的，尽管他到那时为止还没有研究过弦论。因为
那次已有人讲了弦论，他才打消念头。应当说威顿是从史瓦兹在82年发表的一篇综述里学
到弦论的。卡鲁查- 克来茵理论的失败和弦论的可能的有限性使得威顿极其重视弦论，这
大概是为什么继格林-史瓦兹84 年的第一次革命的第一篇文章，他能和其他三位写出第二
篇文章的原因。

　　我们在本章中侧重讲84--85年间的第一次弦论革命的三篇最重要的文章，依次为：1。

　　格林-史瓦兹的关于型-I 弦理论中当规范群为SO(32) 时规范反常的抵消，以及后来的
关于这个弦理论有限的证明；2。普林斯顿的小提琴四重奏组合关于杂化弦构造的文章。3
。威顿等四人的卡拉比-丘(Calabi-Yau) 紧化的文章，该文指出当型- I 弦或杂化弦紧化
在一个6维的卡拉比-丘流形上时，得到的四维理论具有N 等于1的超对称，以及三代粒子；
最后，再谈一谈其它一些重要的进展。

　　先谈谈反常。这是量子场论中的一个重要话题，但也是比较难以用直观的图像来解释
的话题。这里试试能不能不用公式把基本道理讲出来。最好的出发点是一个两维的量子场
论，其中有费米场，也有规范场。先谈费米场，这些我们在介绍弦的世界面上的理论已遇
到过。

　　和一个标量场一样，满足两维运动方程的无质量费米场有两个独立的解，也就是向右
传播的波和向左传播的波。这种传播的方向性又和费米场的手征有关。如果我们不明白何
谓手征性，我们暂时就用传播的方向性代替：向右模和向左模。假定这些模都是复的，那
么这个简单的理论有两种对称性。一种对称性是说，将两个模同时用一个相因子转动，所
得的结果不变，这种对称性不区分向右或向左，所以叫做矢量对称性(下面就谈到为何用矢
量这个名字)。另一种对称性是向右模和向左莫的转动因子恰恰相反，这个变换区别方向性
，所以叫做赝矢对称性。

　　现在再谈两维世界中的规范场。最简单的规范场如同电磁场，有两个分量，即是一个
矢量。在两维中，只有一个场强，相当于沿着空间方向的电场，没有磁场的原因是因为只
有一个空间方向。现在如果我们要求上面谈到的矢量对称性是一个规范对称性，也就是一
个局域对称性，我们就必须引进一个规范场与之耦合，这个场是矢量，所以相应的对称性
叫矢量对称性。在经典的意义上，上面谈到的赝矢对称性还是一个好的整体对称性，因为
运动方程在这个变换下不变。

　　奇怪的是，当我们有一个不为零的电场场强时，赝矢对称性不再是一个好的量子对称
性。也就是说，这个对称性对应的荷在量子力学中不再是守恒的。事实上，我们可以把矢
量对称性和赝矢对称性重新归为向右模的转动对称性和向左模的转动对称性，每个对称性
都有对应的荷，即向右运动的电荷和向左运动的电荷。现在，我们说的反常是，虽然在经
典上这两个荷分别是守恒的，在量子力学中不再是分别守恒的。只有它们的和是守恒的，
这是矢量对称性，而它们的差不再是守恒的，也就是说，赝矢对称性在量子的层次上受到
破坏。

　　这个反常很久前就为斯坦伯格(Steinberger) 和薛温格注意到，在两维中也有比较直
观的解释。考虑沿着空间方向有一个电场，电场在一维空间中当然有明显的指向。在量子
场论中，费米场往往有所谓的狄拉克负能海，在没有电场时，这个负能海的能级对于向右
模和向左模来说没有区别。当有电场时，就有区别了，因为电场有方向性。这样，向右模
和向左模的填充能海的方式就不同，从而对应的真空就不同。当然我们可以避开狄拉克负
能海来解释这个问题，因这个概念不适用于玻色子。这样，向右模和向左模的电荷不在是
分别守恒的。

　　这种反常在我们目前讨论的理论中并没有什么问题，相反，它有很多应用，如量子霍
尔效应。但如果我们分别对向右模和向左模引进规范场，问题就来了。规范场存在本身要
求对应的荷是守恒的，但这些荷不是分别守恒的，所以，比方说，向右荷对应的规范理论
本身在量子力学中就没有办法定义。对应于总荷，我们可以定义一个规范理论，这就是上
面谈的矢量规范理论，而赝矢规范理论不存在。如果一个两维的理论本身只有向右模，这
个理论就不能有规范对称性。

　　在高维中，虽然向右或向左已不是有定义的概念，但在偶数维中存在手征这个概念，
从而反常的问题也存在。在4 维中，最早证明反常存在的是爱德勒(Stephen L. Adler)，
贝尔(John Bell) 和贾克夫(Roman Jakiew)。他们的文章都是在1969年发表的，内容是通
常的量子电动力学，其中一个费米子带有手征性。同样，手征对称性，或即赝矢荷不再守
恒，不守恒的量现在不是与电场成正比，而是与电场和磁场的内积成正比。

　　后来的发展表明，反常现象在所有的偶数维都存在。不仅是我们上面介绍的阿贝尔手
征反常，而是所有可能的非阿贝尔手征反常都存在。反常通常可以用一个拓扑不变量来表
示，在两维中，就是电场，这在数学中叫第一陈类；在4维中，是电场和磁场的内积，数学
上叫第二陈类。有一个很简单的特徵，所有这些拓扑不变量都可以表达成一个全微分，这
样他们的时空积分只与一个流在边界上的行为有关，而与规范场在时空内的行为无关。这
些流其实是一种微分几何里称做形式的东西，本身并不是规范不变的，在4 维中，特定的
名字是陈-西蒙斯形式(Chern -Simons)。

　　除了规范场外，引力场的存在也会引起反常。引力场的反常发现比较晚，是1983 年的
事。发现晚的原因是，引力反常并不是在所有偶数维中都可能。最简单的引力反常发生在
两维，下面就是6维，接着是10维，也就是说每隔4 个维度才会有，4 维中没有引力反常。

　　系统研究引力反常的文章是1983年中阿瓦瑞智-高密(Luis Alvarez-Gaume) 和威顿的
文章，他们也研究了10维中的引力反常，可见威顿本人已很重视弦论了。1983 年可以称作
反常年，在阿瓦瑞智-高密和威顿之前，已有几组不同的人研究了高维中的规范反常，包括
朱米诺、吴咏时和徐一鸿(A. Zee)。反常的非常漂亮的几何解释就是这个时候发现的，所
有这些是格林-史瓦兹论证型-I 弦论中没有规范反常和引力反常的重要出发点。

　　我们已经强调过，如果我们从一个不含手征场的高维理论出发，威顿已证明通过紧化
不可能得到一个低维的带有手征场的理论，从而也不可能得到粒子理论中的标准模型。这
样，我们只能从一个本来就带有手征场的高维理论出发。所有超引力中，含有最大超对称
的是10时空中的IIB 型超引力。这个理论是史瓦兹通过10维IIB 型超弦理论的低能极限发
现的，他与格林在83年证明这个理论没有引力反常。但是，10 维IIB 型超弦理论不含任何
规范场，而要通过紧化得到标准模型的规范场，10维又不够。

　　这样就剩下型-I 超弦理论。这个理论的低能极限含有N 等于1 的10维超引力，其中含
有带手征的费米场；不但如此，理论中还含有N 等于1 的10维超杨-米尔斯理论，规范群是
我们上一节中提到的三个系列，同样，其中的费米场是带有手征的。现在的问题是，在这
个手征理论中，各种反常是否可以完全抵消，从而理论本身是自洽的？

　　这个问题的回答比以前所有的反常抵消都要微妙，因为理论中不但存在引力反常和规
范反常，也存在混合反常，即有些反常项同时与引力场和规范场有关。不但如此，理论中
的开弦态和闭弦态有混合，比如说，当对规范场做规范变换时，闭弦态之一的反对称张量
场也随之而变，完全不同于直觉所告诉我们的。感谢这个特性，格林-史瓦兹证明，所有单
圈的反常项，如果不是互相抵消，都可以通过在树图中加入与反对称张量场有关的项来抵
消。而这种抵消要求规范群是SO(32)，无论是规范反常也好，还是引力反常或混合反常，
都要求这个群。这的确是一个几乎是不可思议的结果，因为太多的系数恰恰在这个群的情
况下成为零。

　　格林-史瓦兹并且注意到，另一个群也满足这个要求，就是E(8)乘E(8)群。这个群还不
能用开弦来实现，但他们两人已预言了这个弦理论的存在，后来的杂化弦就实现了这个预
言。

　　有趣的是，有好几个人都建议所有反常在这个群的情况下抵消，包括法国人射瑞-米格
(J.Thierry-Mieg)。后者不至一次地向别人夸耀他曾向格林-史瓦兹建议这个群。

　　格林-史瓦兹关于反常抵消的讨论中一个重要特点是开弦的反常与闭弦的树图的规范变
换的抵消，这种抵消后来统称为格林-史瓦兹机制。这可能是第一次，弦论中经典项与量子
项的混合。不久，他们两人又证明了过去以为是发散的单圈图，在群为SO(32)时，也互相
抵消，这说明型-I 弦论本身是有限的。

　　格林-史瓦兹的发现启动了弦论的第一次革命，之所以有这种情况，不外乎两个原因：

　　第一，弦论第一次表明自洽的理论的个数很少，不在是无限多个；第二，弦论中有可
能实现标准模型，这是人们在研究过很多其它超对称理论后剩下的不多的可能。

　　(第二节)

　　书接上回，那里我们预告了这一节讲杂化弦。杂化弦的英文是heterotic string，不
知谁是始作俑者，估计格罗斯(D. Gross) 和哈维(J. Harvey) 都有可能，因为这两位都有
玩弄文字游戏的爱好。杂化的含义是这个新的弦理论是两种弦的杂交，一种是10 维的超弦
，另一种是26维的玻色弦。由于后者中的16维是紧化的，而且没有了另一半(下面谈)，所
以这16维不是物理的空间，这个弦理论还是10 维的弦理论。这个杂化构造有两个选择，一
种产生的规范群是SO(32)，另一种产生的规范群就是格林和史瓦兹预言的E(8)XE(8) 群。

　　杂化弦的4 个作者都在普林斯顿，所以他们被叫做普林斯顿弦乐四重奏。“老大”是
格罗斯，早已是个著名人物，最有名的工作是与维尔彻克共同发现量子色动力学中的渐进
自由。在60年代末70 年代初也短暂地研究过弦论。他和史瓦兹是同学，都是邱的学生，又
同时在普林斯顿作助理教授，后来只有他成为那里的永久正教授。弦乐组合的其他三人都
很年轻，哈维是助教授，马丁尼克(E. Martinec) 是博士后，而儒么(R. Rohm) 是威顿的
学生。

　　第一次革命产生了很多超新星，儒么是其中之一。他是一个真正的超新星，非常亮，
但高亮度只持续了很短一段时间，现在已几乎不可见了。

　　我听到过一个非正式的故事，说当另三人有了构造杂化弦的想法之前，威顿或者儒么
已经有了类似的想法，不管是谁先有的，威顿建议他的学生研究这个问题。后来知道另三
个人也在做类似的工作，威顿就建议他们吸收儒么。这在普林斯顿是难能的，因为有一种
说法，普林斯顿高能组的人打印出自己的文章时都是跑步到打印室去的：生怕别人看到这
篇文章中的想法。有没有夸大先不管，但普林斯顿人之间的竞争的确很大，历史上经常有
两篇研究同样的问题的文章一起出现。

　　威顿在后来的一系列发展中起到了关键作用。我们前面提到，他在1982年至1983年之
间已非常注意弦论的发展，因为他意识到其它的统一途径基本上行不通，而弦论中的弦的
激发态中自动含有引力子的事实对他来说类似于一种启示，他后来屡次提到。在格林和史
瓦兹发现反常抵消的前后，他已在普林斯顿公开和私下做了很多推动的事情。据当时在普
林斯顿做学生的克来巴洛夫(I. Klebanov) 后来说，普林斯顿上上下下，除了他之外，都
在学习弦论，而动作比较快的弦乐组合已有了杂化弦的想法。

　　这个想法在物理上很简单，而数学则需要用到当时大多数研究场论的人不熟悉的相对
比较新的东西。物理上，人们利用一个早已知道的事实，即弦的世界面上的两种模，向右
运动和向左运动的模是独立的。我们在谈两维中的反常已谈过它们，这里，由于所有平坦
空间的维度在世界面上是无质量的玻色场，右手模和左手模没有耦合，所以形式上它们可
以被看作是独立的场，或自由度。同样，世界面上的费米场的右手模和左手模也是独立的
。取10维超弦中的右手模，加上26维玻色弦的左手模，我们就得到杂化弦。

　　26 维左手模中的10个维度和10维超弦的右手模中的玻色场共同形成物理的10维时空。
换言之，这10 维时空没有紧化，这样右手模和左手合并起来含有10空间中的引力场，所以
这10维空间是真正的物理空间，因为只有当几何(其激发态是引力子)是可变的时候才是真
正意义上的时空。左手玻色场剩下来的16维没有相应的右手模，从而不可能有相应的引力
场，这样这16 维一旦固定下来，就不会发生动力学变化，从而不能被看着是空间，这16维
可以类比于量子场论中的内秉空间，它们的存在仅仅引入新的自由度而已。

　　稍早，一些其他人一猜测E(8)XE(8) 超弦可以由26 维的玻色弦获得，如芝加哥大学富
润(P. G. O. Freund)。富润也知道应当用到一些新的数学，就是我们马上要提到的仿代数
(affine algebra) 的顶点算子表示，但他没能有效的将右手和左手分开，所以没有得到大
家后来熟知的杂化弦。

　　现在，仅仅是为了粗糙地理解什么是杂化弦，我们需要引进一些不熟悉的物理和数学
概念，这些和环面有关。我们知道，一维的圆可以叫做一维环面，两维环面大家最熟悉，
象一个轮胎的表面。同理，我们可以想象高维的环面。现在假定一些物理的空间是环面，
弦在这个环面上运动。再假定这个环面是平坦的，没有曲率，但这个环面可以有不同的形
状。比如一个两维环面，可以通过黏结一个平行四边形的两对对边得到，所以这个环面可
以有不同的形状。用比较数学化的语言，平行四边形的四个定点可以看作一个两维晶格上
的点，而一个平行四边形本身可以看作这个晶格的一个基本格子。最后，环面通过把所有
平面上的基本格子等价而得到的，这样，环面就是一种最简单的平面陪集，其等价群就是
晶格所代表的群。

　　同样，我们可以由一个高维的平坦空间出发，加上一个高维的晶格作为等价群，就可
以获得任何想要得到的平坦的高维环面。

　　当弦在环面上运动时，它可以有振动，这一般叫做激发，而非激发的状态有两组物理
量子数来决定，这些通常叫做零模。一组零模就是整个弦的沿环面的动量，而另一组是弦
在环面上各个方向缠绕的次数，即绕数。这两组量子很重要，后面谈T 对偶时要起很大作
用。

　　对于一个粒子来说，最简单的波函数是平面波，其中的量子数是动量。对于一个弦来
说，最简单的波函数也是平面波，但当弦有绕数时，我们要推广这个平面波。这个推广很
简单，就是把平面波中的座标用弦的整个座标取代，将右手模和左手模分开，就有了两组
动量，而这两组动量是弦的动量和绕数的线性组合。这个平面波波函数当作世界面上的函
数看待时，就叫顶点算子。

　　并不是所有动量和所有绕数都是允许的。我们知道，动量在量子力学中对偶于座标，
由于环面上的周期性，动量必须量子化。结论很简单，就是动量也必须处在一个晶格上，
这个晶格对偶于用来构造环面的晶格。当然饶数是自动量子化的，很明显，绕数处在原来
的晶格上。

　　现在，为了构造杂化弦，我们要求去掉16 维环面上的右手部份，这就要求右手的动量
为零，也就是一些总动量和饶数的线性组合为零。这对原来的晶格以及它的对偶晶格加了
一些限制条件。弦的一次量子化又要求弦的动量在壳条件，从顶点算子的角度来说，这个
算子的左手反常权必须是1，这说明晶格上的一些基本长度是偶整数，从而晶格上的任一点
的长度都是偶整数。所有这些条件加起来，我们基本上得到一个结论，就是，这个16维的
晶格是一个偶的并且是自对偶的晶格(even self-dual lattice)。

　　巧的是，在16维中，只有两个满足这些条件的晶格，这两个晶格分别对应于两个群，
就是SO(32) 和E(8)XE(8)，晶格恰巧是群的极大环面的晶格，也就是说，这些群每个都有
一个极大的平坦环面，维数是16，用来构造这个环面的晶格满足我们上述的条件。这样，
在晶格上取长度恰为2的点来构造顶点算子，这些算子再和右手模结合，得到一些完整的算
子，这些算子对应于10维时空中的规范场的激发态。另一个巧合是，每个16 维的晶格上恰
有496个长度为2的点，和应有的规范场的个数相等。

　　证明这些顶点算子满足相应的李代数要用到在当时来说是相当新的数学，就是仿代数
的顶点算子表示。这个数学分支有一个有趣的历史，在数学方面，先是勒泊斯基(J. 
Lepowsky)和威尔逊(R. Wilson)开始研究，由富兰克( I. B. Frenkel)、凯兹(V. G. 
Kac) 等人完成，再由哥达德(P. Goddard) 和奥立弗(D. Olive) 用物理的语言在84 年左
右表达出来。所有这些工作早年有物理学家研究过特例，如海尔朋(M. B. Halpern)。在一
次革命之后，产生了很多相关工作，当然威顿的对所谓外斯-朱米诺-威顿模型的研究极大
推广了这些工作的物理意义，对后来的发展有很大的影响。

　　杂化弦的右手部份是10 维超弦的一半，所以由此而来的超对称也是10维超弦的一半，
就是N 等于1的10维超对称。当群为SO(32)时，零质量场的内容和型-I 超弦没有任何区别
。这个重要特征并没有引起任何人的重视，因为很自然地人们以为这是两种完全不同的理
论。杂化弦是一个纯闭弦的理论，而型-I 弦含有不可定向的开弦和闭弦。杂化弦左手部份
的在环面上的16个玻色子又可以用32个费米子取代，这和两维中(世界面)的“费米化”有
关。我们不谈费米化，只简单地介绍一下杂化弦在费米表示下的构造。32 个费米子，可以
分为两部份，对每部份独立的加周期或反周期条件(即雷芒分支，或内吾-史瓦兹分支)。在
壳条件表明，只有两种可能才能得到自洽的谱，就是要么所有32个费米场满足同样的条件
，这样得到群为SO(32)的杂化弦；要么32 个费米子分成每组16 个费米子的两个组，独立
地加周期条件。可以很快地得到结论，必须用格舍奥投射(见第四章第四节或更早)，这样
投射的结果是在第一个激发上恰有496个态，这对应于E(8)XE(8)的规范场。可以证明，不
能将32 个费米子拆成更多的组。费米子表示的好处是不需要仿代数的顶点算子知识，这也
是它的坏处，因李代数的结构不清楚。费米子表示也说明，16维新的空间的确是内秉空间
。

　　(第三节)

　　1984 年的超弦风暴在很大程度上归功于三篇经典文章中的一篇，就是威顿等人的关于
卡拉比-丘紧化的文章。这篇文章大概是所有超弦文章被引用最多的一篇，后来它的引用率
仅仅被一篇文章超过，就是马德西纳(J. Maldacena) 的关于弦论和规范理论对偶的著名文
章。

　　单从引用率来看，很能说明为什么卡拉比-丘紧化文章的重要。首先是唯象方面的，这
篇文章为弦论在唯象学方面的应用开了一个先河，使人们看到很多不同的可能；其次，这
种全新的紧化方式引发构造许许多多低维弦理论；最后，卡拉比-丘紧化使得弦论第一次和
现代数学的分支代数几何发生关系。

　　我们前面说过，如果从一个高维理论出发，要想得到一个低维的带有手征费米场的理
论，这个高维理论本身必须是手征的。现在，弦论已有三个理论在十维中带有手征，就是
型-I 超弦，其规范对称性是SO(32)，两种杂化弦，规范对称分别是SO(32) 和E(8)XE(8)。


　　卡拉比-丘紧化文章首先关心的是，如何从这些理论得到一个四维的手征理论。当然由
于十维超对称的存在，我们首先要问的是，通过紧化后，还要不要超对称？

　　粒子物理的标准模型中没有超对称，也就是说到目前为止，粒子物理实验还没有看到
任何超对称的迹象。我们在谈超对称和超引力一章中解释了超对称的引入在理论上的意义
，也谈了在解决所谓规范等级问题上的作用。所以，在某个能标以上，超对称的存在是有
好处的，很多唯象学家也相信发现超对称下一阶段粒子物理实验的重要目标之一。那么，
唯象学需要多少超等称？从消除发散的角度看，越多越好，而从粒子物理的角度看，四维
中的N 等于一超对称最合适。如果有更多的超对称，表示理论说明，如果有一个左手的费
米子，则存在一个对应的右手费米子，这和弱电相互作用极大破坏手征性矛盾。所以，在
某个能标以上，最好只有四维的N 等于一超对称。

　　既然在低能理论中没有超对称，我们能不能一开始就利用紧化破坏所有的超对称？这
种可能是存在的，但我们一定要在解决规范等级问题的前提下做到破坏所有的超对称。据
我所知，目前还不存在一个这种紧化方式。

　　所以坎德拉斯(P. Candelas)、豪罗维芝(G. Horowitz)、施特劳明格、威顿等四人的
文章假定在紧化后得到一个四维的N 等于一的理论。这就要求，卡拉比-丘流形破坏大多数
超对称。根据推广的哥得斯通定理，破坏一个超对称就必须有一个对应的零质量的费米子
，这些费米子必须从10 维的引力微子中产生，从超对称变换的角度说，这些费米子对应于
超对称变换所产生的引力维子部份。引力微子的超对称变换含有超对称参数的协变微商，
要产生不为零的引力微子场，这些协变微商要不为零。我们得出结论，如果只留下一个四
维的超对称，只有这个超对称对应的协变微商为零。用数学的语言说，整个流形上只有一
个基林旋量(Killing spinor)。

　　如果将十维时空流形看作是一个四维的平坦的时空和一个封闭的六维空间的直积，那
么这个基林旋量在四维平坦时空上只是一个常数旋量，在六维空间上就比较复杂了。很多
简单的封闭空间有许多基林旋量，如一个六维的环面；而大多数封闭空间没有任何基林旋
量。

　　可以很快证明，允许基林旋量存在的空间必须是里奇平坦的，即所有里奇曲率为零。
如果只有一个基林旋量，那么这个里奇平坦的空间也不能过于平坦，环面是完全平坦的，
但有太多的基林旋量(和旋量的份量个数一样多)。一个空间的平坦程度又可以用一个群论
言语来描述。我们知道平移的概念，这个概念在欧氏空间中最简单，也可以推广到一个弯
曲的空间中去。当一个空间是弯曲的时，一个矢量沿着一个闭合的路径平移后回到原点可
能与原来的矢量不同。在一个平坦的空间中，沿着任何闭合路径平移后的矢量还是原来的
矢量，我们说这个平坦空间的和乐群(holonomy group) 是平庸的。球面则不同，平移后的
矢量好像是经过了转动，这个转动依赖于路径。所有可能的转动形成一个群，这个和乐群
对于球面来说是整个转动群。现在，只允许一个基林旋量存在的六维空间的和乐群不能太
小，也不能太大，必须正好是一个SU(3)群。

　　和乐群为SU(3)的空间是一个复空间，同时又是一个所谓的开勒空间(Kahler)。这样一
个空间叫卡拉比-丘空间，原因是，卡拉比猜测和乐群为SU(3)的空间一定存在一个里奇平
坦的度规--我们前面说过基林旋量的存在要求里奇曲率为零，而丘成桐证明了这个猜测。
这类流形是一类特殊的复流形，卡拉比-丘紧化文章给出了一些构造。这些构造说明这些流
形是代数流形，也就是说可以通过在复欧氏空间用代数方程来规定一个子流形，虽然我们
形式上有了这些流形，还没有人能写出一个里奇曲率为零的度规，这就说明这些流形的确
很复杂。

　　也许我们就认为在这种情况下很难研究紧化后的一些物理问题。的确，许多问题的回
答要求我们必须知道明确的度规，幸运的是，很多重要的、低能物理的问题的回答不需要
明显的度规表达式。一类问题是，紧化后，有多少四维中的零质量粒子？零质量粒子对应
于六维紧化流形上的各种微分算子的零模，比如，一个零质量的标量粒子对应于六维流形
上的拉普拉斯算子的零模；一个零质量的旋量粒子对应于六维流形上的狄拉克算子的零模
。没有明确的度规表达式，我们不能写出这些零模的明确表达式。但要回答有多少零模，
我们不需要明确的表达式。

　　算子的零模问题和所谓的指标定理有关。给定一个算子，可以定义其指标，这个指标
是一个整数，即是这个算子的零模个数减去其对偶算子的零模个数。在很多情况下，对偶
算子没有零模，那么原算子的零模个数就等于这个算子的指标。指标定理说，虽然定义中
涉及到几何即度规，一个算子的指标是一个拓扑数，只和流形的拓扑有关，和几何没有关
系。指标定理在很大程度上推广了欧拉定理以及后来的黎曼-罗赫定理。

　　当我们用代数方法构造了卡拉比-丘流形后，就可以利用代数几何的结果计算各种算子
的指标，从而确定对应的无质量粒子的个数。举例来说，狄拉克算子的指标是欧拉示性数
的一半。在这里，狄拉克算子的零模定义为左手零模，其对偶零模是右手零模，这样，狄
拉克算子的指标等于没有配对的手征零模，而配对了的零模形成一个没有手征的零质量粒
子。所以，粒子理论中的代的个数正好等于狄拉克算子的指标，也就是欧拉示性数的一半
。如果能构造出一个欧拉示性数为6的流性，我们就得到一个有着三代粒子的四维理论。

　　标准模型中的一些重要的参数，如费米子与标量粒子耦合常数，也可以通过代数几何
来确定，这些也是一些拓扑不变量，当然是一些比较细致化的拓扑不变量，与复几何有关
。

　　紧化工作的另一个重要部份是决定四维中的规范对称性。非常有意思的是，这也和代
数几何有关。如果我们从N 等于一的十维理论出发，格林-史瓦兹关于反常的工作说明，不
是所有的紧化都是自洽的。低能理论要求，六维流形上的一个曲率和规范场必须满足一个
方程，这个方程的拓扑意义是说流形的第二陈类等于规范场的第二陈类，当然方程本身的
要求比这个表述的要求还要高，相当于无限多个要求。幸运的是，这个要求在卡拉比-丘流
形上可以得到满足。举E(8)XE(8)理论为例，可以把流形的和乐群SU(3)与E(8)的一个子群
完全等同起来，这样，剩下的规范对称性是所有与这个子群对议的子群，也就是E(6)XE(8)
。我们可以将E(6)解释为一个大统一对称群，另一个因子E(8)，由于与E(6)对易，可以解
释为不可见的分支。所以，卡拉比-丘紧化从超对称和大统一的角度来看，是一个非常成功
的紧化方式。

　　最后，说一句题外话，历史似乎提示，所有一开始认真研究卡拉比-丘紧化的人，一生
都离不开这个题目，如坎德拉斯。1984年文章的另外三个作者，后来没有将卡拉比-丘流形
作为主要研究课题，所以在其它方面都做出了重要工作。

　　(第四节)

　　1984-1985 年的超弦第一次革命可以说在不到一年的时间就已完成，也就是说，今后
若干年所围绕发展的几个问题和重要概念在一年之间已被提出。我们在本章前三节所谈的
三篇文章都在一年之间出现，这三篇文章是超弦第一次革命的三篇最重要的文章。其它几
篇重要文章也都在一年左右出现。

　　我们在这一节谈谈其它一些重要工作。毫无疑问，谈到微扰弦论，首先想到的是两维
共形场论。我们把关于两维共形场论的稍微仔细的介绍推迟到下一章，这里，只限于谈一
下共形场论对于微扰弦论的重要性，以及在弦论第一次革命间及之后共形场论在弦论中的
几个应用。

　　顾名思义，共形场论是一类特殊的场论，在其中有共形不变性。共形不变的含义是，
量子场论中没有一个内秉的标度，所有物理学量，如关联函数，只和这些物理量本身带来
的标度有关。譬如，在一个关联函数中，所有出现的标度只是各算子之间的相对距离。由
于没有内秉标度，场论含有较高的对称性，除了我们熟悉的洛伦兹对称性外，还有变换标
度不变性。在不同的维度中，标度不变性隐含着更大的对称性，通常叫做共形不变性。粗
略地说，共形变换是一种只保持任何一个图形的所有夹角而改变长度的变换。在两维中，
存在无限多这些变换，所以两维共形场论很特殊，在很多情况下可以作解析研究。开这种
研究先河的是前苏联的几个人，贝拉文(A. Belavin)、玻利雅可夫和查莫罗德契可夫(A. 
B.Zamolodchikov)，而他们的重要文章，简称BPZ 文章，是在1984 年发表的。

　　这个时间上的巧合也许并不奇怪，因为玻利雅可夫本人对弦论很感兴趣，他在1981年
已经发表了关于所谓玻利雅可夫弦的重要文章。对于他来说，研究两维共形场论有两个目
的，一是将其应用到统计物理中的临界现象上，二是应用到弦论中。给定一个时空背景，
弦论中的世界面作用量定义一个两维量子场论，这个量子场论必须是一个共形场论，如果
不是，我们要遇到两个基本困难。第一，如果没有共形不变性，世界面上的每一个度规都
含有一个决定世界面上每一点的长度的标量场，这样定义的散射矩阵破坏了对散射矩阵的
一个基本要求，就是么正性。第二，没有共形不变性，我们也无法定义计算散射矩阵的最
基本的东西，即每个散射态的波函数，或即顶点算子。

　　共形不变的要求在弦论的微扰论中有非常重要的推论，一个看起来不可思议的结论是
，要求一个定义在弯曲时空中的世界面上场论共形不变等价于时空中各个场的运动方程，
特别是广义相对论中爱因斯坦场方程及其推广。

　　对于纯粹的玻色弦来说，世界面上的量子场论必须是一个共形场论，而对于超弦来说
，这个共形场论还含有更大的对称性，就是一些两维中的超对称，这个共形场论也就叫超
共形场论，除了一般的超对称外，还有无限多个新的超对称，与无限多个共形不变性类似
。而在杂化弦中，场论也是一种杂化，左手模是一个普通的共形场论，而右手模是超共形
场论。

　　可以说，在第一次革命后，研究共形场论占据了许多人的大部份精力。有人甚至把研
究共形场论等价于研究弦论的所有动力学，弗里丹(D. Friedan) 就是一个典型，他强调将
共形场论分类以及深入研究各种世界面的集合：一个无限高维的空间，普适模空间。由于
生病的原因和坚持他的这种信念，弗里丹已经多年脱离弦论的主流，基本上没有什么研究
了。

　　另一个重要研究方向是各种各样紧化，特别是卡拉比-丘紧化。我们说过，一般的卡拉
比-丘流形非常复杂，甚至一个明显的度规都写不出。所以，人们很快想到如何构造一些简
单而有用的模型，所谓迹形(orbifold)，就是这样被发现的。与更为普遍的流形不同的是
，迹形的拓扑通常由一些“奇异”的点来实现，当我们远离这些点的时候，空间是平坦的
，拓扑也是简单的。从一个平坦的欧氏空间出发，利用欧氏空间的对称性就可以构造迹形
。我们已经谈过如何构造高维的环面：方法就是用欧氏空间中的晶格，将晶格单胞的“对
边”等同起来。用数学的术语说，晶格本身是欧氏空间平移对称群的一个离散子群，而环
面则是欧氏空间在这个离散子群作用下的等价类。环面是最简单的迹形，在这里，迹形的
“迹”有明显的含义，就是，环面上的每一个点是欧氏空间的一个轨迹，这个轨迹由晶格
作用在一个点上来生成。在环面的情形，每一个“迹”实际上就是一个晶格，这个“迹”
是晶格群的一个忠实的表现。

　　更为一般的迹形是通过推广环面的构造获得。一个晶格群是欧氏空间的对称群的一个
子群，欧氏空间的对称性除了平移外，还有转动对称以及反演对称。将晶格扩大为一个更
大的离散群，其中包括一些转动元，我们就可以构造一般的迹形了。同样，迹形上的每一
点是欧氏空间一个点的“迹”。通常，这个迹所含的欧氏空间的点和这个离散群有一一对
应，在这个情况下，迹形上的点是一个普通点，也就是说，在这个点的周围，所有几何与
欧氏空间没有什么不同。在特殊的情况下，有的点在离散群的一些元作用下不变，这个点
生成的迹也就不会是离散群的一个忠实表示。在迹形上，这个“迹”所对应的点是奇异的
，它周围的几何与欧氏空间的一个邻域有所不同。一个最简单的例子是，我们用一维晶格
来构造一维的圆，再加上关于原点的反演元，我们构造出的迹形是一个线段，这个线段无
非是将圆对折而获得。

　　线段的两个端点是奇异的，所对应的在直线上的迹比一般的迹少了一半的点。一个稍
微有点复杂的迹形是线段在二维的推广，我们同样通过用两维的晶格来构造两维环面，形
状象一个轮胎。再加上一个针对原点的反演元，我们得到一个完全不同的迹形，其形状象
一个四面体，除了四个顶角外，所有的点都是正常的。而每一个顶角是奇异的，因为绕顶
角一周，我们得到的角是180 度，不是360 度。四面体的拓扑是一个球面拓扑，与环面完
全不同。

　　不是所有的欧氏空间的离散子群都可以拿来构造迹形，我们要避免构造出怪异的空间
。举一个例子，取一个转动元，这个转动元所对应的转动角不是360度的有理数倍，那么一
个点在其作用下，无论经过多少次作用，总不会回到原来的地方。这样，这个点仅仅在这
个转动元的作用下就生成无限多个点，且集中在一个圆周上，而这个圆周上的另一个点也
会生成无限多个点，这两组无限多个点中有些点可以任意接近，虽然原来的两个“母点”
并不接近，这样生成的迹形不是豪斯道夫空间。

　　弦论在迹形上有很有趣的性质，如有所谓的“扭结弦”(twisted sector)存在。这些
扭结弦有很直观的图像，举圆这个最简单的迹形为例，在这里，一个扭结弦无非是一个绕
在圆上的弦，可以绕圆一周，也可以绕圆许多周。所以我们通常不说这些弦态是扭结态，
而说是绕态(winding modes)，他们是扭结态的特殊情形。可以这样来理解为何叫他们作扭
结态。从直线出发来构造圆，直线上原来的一些态，通过平移生成无限多个象，这些象加
起来对应于圆上的一个普通态(也就是说，一个圆上的普通弦态在直线上也是一个“迹”)
。但是，如果有一个弦的两个端点停在一个点的两个象上面，我们会得到一个新的弦态，
这个弦态在原来的直线上不存在，因为不是一个闭弦，在迹形即圆上就是一个闭弦了。由
于每一个晶格群的元都会有带对应“量子数”的弦存在，我们将这些态叫作扭结态：通过
用平移元扭结得到。

　　同样，我们说过的反演元也有对应的扭结态。在线段上，有两组新的扭结态，他们起
始于某一点，通过端点回来又终结于这一点。扭结态常常是局域化的，如通过线段端点的
扭结态，他们不能自由地在线段上移来移去。

　　扭结态的存在不是人为加的，如果你想构造一个弦论，其中没有扭结态，那么通过相
互作用，原来的一个非扭结态可以变成两个量子数相反的扭结态。

　　卡拉比-丘紧化的另一个方向是研究一些抽象的共形场论，通过共形场论中弦态的谱与
卡拉比-丘流形上的谱的对比，可以找出一些对应关系，已经找出的叫做盖普乐模型(Gepne
rmodels)，是盖普乐本人首先发现的。抽象的共形场论的研究比直接研究卡拉比-丘紧化多
很多好处，如可以计算严格的顶点算子，在流形上很难做到这一点。很多卡拉比-丘流形的
数学性质，如所谓的镜像对称性(mirror symmetry)，先是在共形场论中发现的。所以，物
理学家再一次有机会对数学作出独特的贡献，由于现代科学的分工越来越细致，这些贡献
是一个纯数学家不可能作出的。在这个特殊的领域，纯数学家能做的是对物理学家的发现
作出“严格”的论证而已。

　　

 
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我要离开尘世的喧嚣,漂流到宇宙的彼岸,

去用心聆听苍穹深处最美妙的音符.

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