Physics 版 (精华区)

发信人: FDTD (放荡*坦荡), 信区: Physics
标  题: 弦论通俗演义（6）
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年05月22日18:13:01 星期四), 站内信件

第六章黑暗时代

　　(第一节)

　　有一个非常有意思的现象，在科学领域，越是较为抽象的学科，它的发展方向和活跃
的几个地方越不受流行的东西影响，或者更确切地说，这样的学科中没有流行。越是接近
实用，学科越受流行的左右。前者以数学为代表，后者以物理为代表。而每个学科中，其
受流行影响的程度又因不同分支而不同。以数学为例，数理逻辑研究和关心的问题大概数
十年不变，而一个比较应用的分支，如计算机图形设计就会很快改变其热门方向，完全为
时髦的东西左右。

　　同样，即使在物理中，流行的程度也因分支而异。且不说应用物理，以及与应用物理
接近的凝聚态物理。高能物理本身，可以大致分为三个大方向。第一是唯象理论，所谓唯
象，指的是与粒子物理的现象有关，这个分支受潮流的影响极大。例如，去年流行过一阵
子谬子(muon) 的反常磁矩问题，因为一些实验说观测值偏离理论值达到三个以上的标准误
差。这引发一阵不大不小的谬子反常磁矩热潮，引发专门文章数十篇。后来，有人发现原
来的理论计算有问题，原来的两篇理论文章作者也站出来说他们犯了错误。把这错误矫正
过来，观测值离理论值只有两个标准误差了，完全不说明问题。这样，这个时髦的话题才
冷下来。第二是类似超弦理论的一些比较大的纯理论分支，由于不受实验的直接影响，这
些分支相对要稳定些，但也仅仅是相对而已。在这样的学科中，也有潮流，这些潮流主要
为一些领导潮流的人把握。大潮流三五年来一次，小潮流一两年来一次。第三种是不能独
立成为分支的一些数学物理方向，这些方向中不太容易看到潮流。

　　超弦理论有大小潮流。比大潮流来的更大的是所谓的革命，革命大约是十年来一次。

　　我们在上一章中谈了第一次革命，这个革命本身持续得很短，只有一年功夫，影响远
远超过一年。当影响越来越小的时候，黑暗也就来了。

　　黑暗的原因和表现有两个方面。其一是，一些主要问题及其推广已经研究得比较成熟
，很难再做深入的研究了；其二是，革命过程中带来的未解决的问题还是未解决，并且看
来是越来越难。这第二个问题会引起领域之外人的非难，因为即使是一个不太了解弦论的
人也会听说到这些问题，感觉到这些是比较大的也很关键的问题，如果不解决，弦论谈何
成功。一个例子是，弦论的发展带来很多不同“真空”的发现，而微扰弦论不能解决选择
真空的问题。

　　那么我们的4 维的空间如何来的？4 维中的标准粒子模型如何来的？这些问题不解决
，局外人就觉得弦论是空对空，不是一个理论，充其量是一种应用数学。哈佛的格拉肖(S.
 Glashow)就是这么看的，他嘲笑道：“一个针尖上可以容许多少天使跳舞？”这种看法当
然会在各个方面造成对弦论研究的不利。年轻的对弦论还没有很深体会的人会对弦论产生
许多疑问，从而放弃弦论的研究。年长的，在每个学校有影响的人，也会产生疑问，这样
会对弦论中的年轻人的前途产生不利的影响。这些因素综合起来，弦论在上世纪的80 年代
末、90 年代初就进入历史上的第二个黑暗时代。

　　我记得很清楚，那时我每到一个地方，当有人问起我是研究什么的时候，我有点不好
意思地回答：弦论。然后尽量给他人留一个我对物理的其它方面也感兴趣的印象。只有这
样，人家才认为你这个人还有救，才会跟你继续谈点什么。

　　尽管弦论本身处于一个不利位置，大多数成熟的弦论专家还是继续着超弦的研究，所
以在黑暗时代，弦论还在进步。在本章中我们谈谈这段时间中的一些主要的进展，特别是
与共形场论和矩阵模型有关的一些研究。

　　我们前面已谈到，二维共形场论是微扰弦论的基础，因为弦的一次量子化涉及到弦的
世界面，是二维的。二维共形场论的发展和弦论既有关系，也有一定的独立性。其发展，
一部份与弦论有关，一部份与场论以及凝聚态物理有关。场论中，很早，例如威尔逊就提
出了算子乘积的概念，苏联人玻利雅可夫早在70 年代初就研究了算子乘积的共形不变性质
，所以几个前苏联人在1984 年发表的经典文章是那个研究的继续。

　　BPZ 文章对研究超弦的人带来的冲击是即时而又明显的。那时，第一次超弦革命正在
发生，苏联也在解冻。有一些苏联人到欧洲去访问，我不知道玻利雅可夫本人那时是否去
过丹麦，但BPZ 之一的贝拉文和丹麦的玻耳研究所关系密切，肯定在那个时候去过。弗里
丹恰好也去访问，所以很快了解到BPZ 的工作。他回美国后很快与闲克(Steven Shenker) 
以及裘宗安写出后续文章，主要是判定所谓极小模型是否是么正的。这篇文章本身的影响
极大，同时又向西方介绍了苏联人的工作。BPZ 的工作先在苏联的一个杂志上发表，然后
才在欧洲的核物理杂志发表。

　　弗里丹本人大学学的是文科，后来才转到物理。他的博士论文研究二维的非线性西格
马模型(nonlinear sigma-models)，论文的导师又是一个有名的数学家辛格(I. Singer)，
所以遭遇之奇在弦论中是少见的。当然，二维的非线性西格马模型是一个物理问题，辛格
也是少数几个懂物理的大数学家之一。由于研究二维的非线性西格马模型，弗里丹可谓先
天好过很多人，一下子就可以转到弦论上来，因为弦的世界面理论就是一个二维的非线性
西格马模型。弗里丹的博士论文很快成为弦论的经典之一，其中得到的一个重要结果就是
，一个二维模型是共形不变的条件是，背景空间上的度规必须满足爱因斯坦场方程。

　　我刚接触弦论时，就被逼着学弗里丹的博士论文，当然觉得是囫囵吞枣，能懂多少是
多少，这样研究弦论，当然不会赶上潮流。弗里丹等人前进得很快，不但与闲克等人在二
维共形场论以及超对称的二维共形场论中做出很多好工作，也与凯伦(C. Callan) 等人推
广了他的博士工作，系统地研究了玻色弦以及超弦在一般弯曲背景中的自洽条件，也就是
背景场应满足的运动方程。这些运动方程包括弦的修正，也就是说，除了爱因斯坦方程之
外，还有与弦有关的附加项，这些附加项的大小由弦的长度标度所决定。从弗里丹的故事
中，我们看到，掌握发展的先机多么重要，在圈外懵懵懂懂，尽管可以做一点研究，却只
能永远是边缘的研究。这是我从我个人的经验中得到的比较痛苦的总结。

　　我们下次要仔细谈谈二维共形场论，然后谈谈二维非线性西格马模型。

　　(第二节)

　　在凝聚态物理中，多年来有一个重要问题，就是临界现象。这种现象很早就被发现，
如乳光现象，水和蒸气的共存点。后者是水在变成蒸气的过程中，气压的变化终於使得水
气不分。水变成气是一级相变，其特点是很多物理量突然改变，如密度。一级相变有一个
终点，在这里，不连续的量成为连续的量，而它们的导数变成不连续的，这就是二级相变
。过去描述二极相变的理论是兰道平均场论，比较粗糙。后来威尔逊发展了重正化群的方
法，将所有对涨落有贡献的项都计及，形成了一套非常成功的理论。

　　当一个系统处在二级相变点，也就是临界点时，涨落的效应最大，因为此时系统(假如
是无限大的) 已没有能量的间隙，用场论的语言说，所有场都是没有质量的。更严格地说
，所有关联函数中没有长度或质量的标度，从而系统本身有标度不变性。只要系统比较正
常，那么标度不变性就蕴涵着共形不变性。标度变换仅仅改变整体的标度，而一个普遍的
共形变换可能改变形状，所保持的仅仅是原来的所有图形中的角度。很多研究得比较透彻
的临界系统是两维的(三维的系统当然更实际，但很难研究)，所以两维的共形场论变得非
常重要。

　　在一个局域场论中，局域算子的概念很重要。原则上，给定任何一个空间中的点，列
出所有局域算子，相当于在一个闵氏空间中知道了整个希尔伯特空间。不同点之间的算子
关系可以通过空间平移来得到，从而相互之间是一个线性关系。知道了一点的算子还不等
於了解了系统的所有性质，例如，我们最感兴趣的是关联函数。威尔逊指出，如果知道任
意两个定义在不同点算子乘积，原则上所有关联函数都被确定了。两个算子的乘积，可以
用两个算子的其中一点上的所有算子来展开。这个展开通常是渐进展开，也就是说，当把
这个算子乘积代入一个关联函数的时候，得到无限多关联函数之和，这个和是一个渐进级
数。由於算子乘积展开中每一项的系数随着两个算子之间的距离变小而变小，这个展开在
小距离上非常有效，所以有时人们将算子乘积展开叫成短矩展开。

　　场论的一个特点是，关联函数通常随着距离的减小而变大。这就意味着，在算子乘积
展开中，最重要的项随作距离变小而增大。而大多数项随着距离变小而变小，所以我们只
须重视有限的几个项有行了。如果是共形场论，我们还可以按照标度来分类算子，在这个
分类中，每一个算子在变换尺度时也变换一个因子，该因子通常随着尺度的变小而变大，
这正是场论在小尺度上自由度增大的一个反映。对於每一个标度算子来说，那个变化因子
是尺度变换的一个幂次，幂通常是负的，取其正数，这个正数叫这个算子的指标。我们可
以将空间一点上的所有算子按指标的大小排列。随着指标的增大，算子的数目越来越多。

　　现在，同样可以进行算子乘积展开的研究。所有涉及的算子都有一个固定的指标，这
样乘积展开中的每一项算子前的系数就是两个算子距离的一个幂次。随着算子的指标的增
大，这个幂次变得越来越正，从而该项便得越来越不重要。展开中有最小指标的算子最重
要，通常的情况下，其系数是距离的一个负幂次。

　　玻利雅可夫早期对共形场论的贡献是，他很早就意识到算子乘积在共形场论研究中的
重要，他并猜测，三个算子乘积的结合性可能是研究共性场论的关键，这个结合性叫做自
提升(bootstrap)，这个英文词很难翻译，大意是，这是一个自洽自足的系统。如果能把所
有的自提升方程都解了，整个共形场论也就被解了。

　　1984 年的BPZ 等人的文章中新添的一个关键点是无限大的共形变换代数。共形群或共
形代数在两维中很特别，只有在两维中，有无限多个共形变换。这从两维的度规总可以写
成一个局域的正交度规看出：取正交度规的复坐标，这样度规只有一项，就是复坐标的无
限小变化乘以其复共轭，经过任何局域的全纯(也就是解析)变换，这个正交形式不变。在
量子场论中，对应于每一个变换，有一个算子。大家熟知的情形是，在时间平移下，对应
的算子是能量，或哈密顿量；在一个空间平移下，对应的算子是这个空间方向上的动量。
同样，对应于每一个共形变换，有一个算子。无限多个共形变换有无限多个算子对应。共
形变换代数对应于一个无限大的算子代数，同任何量子代数一样，这个代数可能有反常，
这里的确有反常，代数的反常项是一个常数，这个常数正比于一个很重要的量：系统的中
心荷，与系统的自由度有关。这个量子代数首先在弦论中出现，由维拉所罗发现，就叫维
拉所罗代数。

　　维拉所罗代数其实是两套代数，一套对应于全纯变换，另一个对应于其复共轭。每一
个代数中有一个重要的生成元，这个生成元对应于坐标的标度变换，所以，任何一个标度
算子与它的对易子还正比于这个算子，正比的系数就是这个算子的全纯指标。我们以前定
义的指标是全纯指标和反全纯指标的和。

　　由於共形变换是对称性，所有算子在共形变换下回到算子的一个线性组合，也就是说
，所有的算子形成维拉所罗代数的一个表示。这个表示是可约的，可以分解成无限多个不
可约的表示。当这个分解是有限的时候，该共形场论叫做一个极小共形场论。在每一个可
约的表示中，有一个特别的算子，该算子与所谓的正模维拉所罗代数元对易，所以这个算
子是这个表示中的指标最小的，不然的话它与正模元的对易子给出带有更小的指标的算子
。这个特别的算子叫原初算子(primary operator)。

　　给定一个原初算子，接下来就是用表示论来研究与原初算子处於同一个表示中的其它
算子，其它算子叫做次级算子(secondary operators)。同时，给定原初算子之间的关联函
数，次级算子之间的关联函数就可以通过微分等的作用由原初关联函数确定。有一写特别
的算子，就零算子，表面看来不为零，其实应等价于零。这些算子通常通过用维拉所罗代
数作用在一个原初算子上获得。将这个算子插入一个关联函数，应得零。但是，一个零算
子通过用各种微分算子作用在原初算子上获得，这样，我们通过插入零算子的办法就获得
了一些关联函数所满足的微分方程。这个结果是BPZ 文章的重要结果之一。

　　BPZ 文章中另一个重要结果是对极小模型的分类。极小模型的中心荷必须小於1，一个
无质量自由标量场的共形长论的中心荷为1，所以一个极小模型中的自由度小於一个无质量
的标量场。极小模型由两个整数所刻划，其中心荷是这两个整数的函数。这些场论有的是
么正的(即没有负指标的算子)，有的不是，甚至中心荷都可能是负的。后来，弗里丹等人
进一步研究了么正极小模型的分类，通过研究态之间的内积，他们得到结论，两个整数代
表的一类模型中只有一类用一个整数刻划的极小模型是么正的。

　　BPZ 文章的第三个重要结果是关于算子乘积的系统的研究。自提升关系可以通过图形
来表示，也就是所谓的交叉对称(crossing symmetry)。通过算子乘积展开，一个四点函数
又可以拆成全纯函数和反全纯函数的乘积的和。还有一个重要概念，就是聚变规则(fusion
rules)，这些规则说，当考虑两个分属两个不同表示的算子的乘积时，在展开中只有一些
表示中的算子才会出现。自提升关系的重要作用是，一旦给定聚变规则，在很大程度上算
子的乘积展开就确定了。

　　还有一种比极小模型范围更广的模型，叫有理共形场论。在一个有理场论中，任何关
联函数都是一个有限的和，其中每一项是一个全纯函数和反全纯函数的乘积。有一段时间
，在莫耳(G. Moore)和塞伯格等人的倡导下，许多人把精力化在分类有理共形场论以及研
究具体的模型上面。

　　说到具体模型，不能不提外斯-朱米诺-威顿模型。威顿在研究玻色化时重新发现了这
一大类模型，他证明了不动点，也就是标度不变点的存在。在这一类模型中，除了共形不
变外，还有许多其它的对称性，这些对称性写成代数的形式就是过去在粒子物理中出现过
的流代数，或者叫凯兹-莫狄(Kac-Moody) 代数。我们前面说过，维拉所罗代数的存在引出
一些关联函数满足的微分方程，同样，凯兹-莫狄代数也有对应的微分方程。这些微分方程
至今还没有完全研究透彻，方程与数学中的一些重要问题如黎曼-希尔伯特问题有关系。外
斯-朱米诺-威顿模型属於有理共形场论，其实，有理共形场论的很多特点都是从这些模型
中总结出来的。

　　说来奇怪，当弦论的第一次革命结束时，黑暗的时代到来时，共形场论一枝独秀，使
很多人几乎忘记了弦论本身，而以共形场论作为一个独立的研究方向。记得那时出国到意
大利，与科大的一位同学一道虔诚地拜访威顿(相信他早已忘了这事)，问他几个关于共形
场论的问题。问完后，他竟然反问我们，对弦论感兴趣吗？说明他无时不刻地在想与弦论
有关的问题，即使他也在专心研究共形场论。可以说，共形场论的短期繁荣某种程度上弱
化了弦论的黑暗时代。

　　威顿是我对Edward Witten一名的翻译。威顿

　　去年已经过了50 岁了，但他在物理领域还是很活

　　跃，创造力也没有明显地下降。他在物理这个学科

　　的名气大概不比任何一个在世的研究科学的在他/

　　她自己的学科中的名气小。也许，并不是太夸张地

　　说，他是有着最大名气的一位。数年前，正是在所

　　谓的超弦第二次革命中，US News 象往常一样在年

　　底出了一期介绍美国各大学在本科和研究院上面

　　的排名，在那一期最后介绍了美国的五名最活跃的

　　学者。我记得其中有Andrew Wiles、麻省理工学

　　院的著名语言学家Noam Chomsky 。威顿是第一位

　　被介绍的，而Andrew Wiles 是第二位被介绍的，

　　可见威顿在美国学术界的影响和地位。同样，两年

　　前，美国的新闻周刊在世界末总结的一期中介绍世

　　纪的重要人物，爱因斯坦被评为世纪最有影响的人

　　物，是二十世纪的第一骑士。在另一期的新闻周刊

　　中，也评出了美国的还活着的50 位最有影响的人

　　物，威顿也是榜上有名，和麦当娜紧挨着。

　　这么一个人，在美国公众中应当很有名了，对

　　不起，美国虽说是科学发展得最好的国家了，一般

　　百姓对科学没有那么大兴趣。对很多人来说，科学

　　有点象研究不明飞行物那样的专业，离神秘主义差

　　不了多少。在美国，出名的科学家是很会搞公关的，如霍金以及卡尔-塞根(当然霍金
是英国人)。威顿

　　恰恰相反，生性内向，性格和他的身材以及硕大的

　　脑袋很不一致。

　　这里不是总结威顿成就的地方，我们主要围绕

　　一个同学提出的问题，就是，威顿是不是当代牛

　　顿？我的简短回答是，很象，但还没有象到是的程

　　度。

　　说威顿象，主要是从他研究的擅长的角度来

　　说。他在同行中最有名的，是他的数学能力，这种

　　能力可能是超弦理论界独一无二的，虽然在这个窄

　　窄的领域，大概没有人会真心地认为自己的数学不

　　好。他的数学能力，就目前已有的成就，不下于当

　　今任何一位数学界的高人，当然，要完全看清他的

　　成就，还要过很多年。他在1990 年得菲尔兹奖的

　　时候，不仅数学界，就是很多他的物理同行，都觉

　　得有点勉强，事实说明，当年极力挺他的阿蒂亚

　　(Sir Michael Atiyah) 等人的眼光是不凡的。他

　　当年的工作，虽很有特色，却不是那么出人意外的

　　新。很多数学界强调严格的“清教徒”更觉得他提

　　倡的方法不严格。

　　恰恰是这一点，他很象牛顿。牛顿发明微积分

　　的时候，出发点是要解决物理问题，要在物理上“严格”定义速度、加速度等等，所
以他的方法对于他

　　自己来说已经足够严格了。但微积分达到今天的严

　　格程度，走了两个大步，每一步花了大概一百年的

　　时间。牛顿的方法是直觉方法，这似乎是每一个大

　　数学家都具备的，而他处于一个特殊的时代，所以

　　成就和特点更加特出而已。威顿目前最大的数学成

　　就，就是用量子场论的结果发明了一个非常“简单”

　　的计算一种微分拓扑不变量的方法。当他在近8年

　　前发现了这个简单的方法时，很多数学界这方面的

　　专家为之惊奇，因为无论如何，没有物理背景的他

　　们是很难理解这种方法的，所以他们以为是奇迹。

　　仅仅这一项工作，就足以使他成为一个了不起的数

　　学家了，所以1990 年的菲尔兹奖没有给错人。他

　　还有很多其它方面的贡献。

　　应当说，和物理结合，是数学在这个世纪的一

　　大特色。威顿等人提倡的方法和途径，将会有越来

　　越大的影响。所以，许多数学家开始学习量子力学，甚至量子场论。

　　在物理上，他在很多方面也是无人能及的。首

　　先是他的高产，很多物理学家可能比他更高产，但

　　不是都能保证高质量。威顿不同，最高产的时候，

　　一年有近二十篇文章，篇篇精彩。据不完全统计，

　　他发表了200余篇文章，每篇文章的平均引用率近

　　300 次，这在物理学界，包括所有不同的分支，是

　　第一。就是和生物这样的巨大学科比，也不落后那

　　些领头的几位多少。

　　再就是他每做一个问题的速度和完美，大概任

　　何一位在某个时候和他研究同一个问题的人都有

　　这种体会。如果不是他在你还没有摸到边的时候就

　　已解决了问题，就是和你同时做出，但解决的方法

　　比你的优美，解决的程度比你的彻底。他是一个少

　　有的能将一个问题解决得干干净净的人，使后来的

　　人惊讶于他的完美和不可思义。这方面的例子太多

　　了。

　　最后，我要讲一下他的缺点，正是这种缺点使

　　得他不能成为当代的牛顿(当然，牛顿在实验物理

　　上的贡献，如光学，是现在任何一位理论物理学家

　　没法比的)。这种缺点可能来自于他的无人能比的

　　解决问题的能力。他的一篇文章很难挑出什么毛

　　病，在早期，他的文章虽然在方法上出人意表，但

　　由于他本人的直觉，每篇写得既全面也易懂，文章

　　还有一种特别的文风，这在严肃的科学文章来说是

　　很难的。正由于这样的很少出错，他显得比较保守，很少写他自己不能肯定是正确的
文章。研究学问当

　　然要严谨，但对第一流的人来说，还要一点大胆，

　　威顿比较缺乏大胆，所以他也失去很多机会。特别

　　在发自1994 年的超弦第二次革命中，他虽然是主

　　要人物，却有几个最大胆、最重要的想法是别人的，他一旦意识到这个想法的重要性
，他很快跟上，并

　　将这个想法发展到极致。我们可以列出几个人，虽

　　然总体成就没有威顿那么大，却因为提出一法得到

　　人们的尊重，如A. Polyakov，J. Polchinski，J.

　　Maldacena。Lenny Susskind 更是一个极其注重直

　　觉的人，他在缺乏很多证据和严格的论证的情况提

　　出了很多想法，后来都证明是对的。当然，'t Hooft，世纪末的两个物理学诺贝尔奖
得主之一，也是一个

　　很有原始想法的人，虽然他并没有参预超弦的研

　　究。

　　威顿很喜欢与他人讨论，但令许多人尴尬的地

　　方是，他如果没有特别好的建议，他会这样说，然

　　后完全闭嘴。这和大部份人不同，通常人们在没有

　　好的建议的情况下也会说点可有可无的，或者似是

　　而非的话。

　　威顿本人是很在意他在物理学史上的地位的，

　　所以他在严肃的场合往往若有所思，也还是那么用

　　功。1995 年，他处于创造力的巅峰，哈佛大学请他去作Loeb 演讲，我很惊讶于他的
头发已经花白，

　　那时他不过44 岁。今年8 月，他应邀在北京举办

　　的国际数学家大会上做一小时演讲，正是中国人直

　　接接触他的机会。他将是第二次在这样的场合做一

　　小时大会报告，这在数学家来说也是不得了的荣

　　誉。陈省身先生也就做过两次这样的演讲。

　　最后，虽然我不认为他是当代的牛顿，无论从

　　数学或物理的角度来看，应当说他是我最佩服的人

　　之一，也是唯一一个他人仅凭努力不可企及的。祝

　　福他在有生之年达到他事业的真正的巅峰。

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　　1998 John Bahcall

　　(第三节)

　　在1995年之前，弦论集中研究微扰的行为，所以绝大部份研究与弦的世界面有关。我
们前面提到的共形场论就是试图从微扰论的角度理解弦论所有自恰的背景，这样做自然是
不全面的，会漏掉一些重要的可能性，我们会在谈超弦的第二次革命时回到这一点。有意
思的是，漏掉的重要的情况并不多，直到今天，弦的微扰论还是研究弦论和M-理论的一个
最重要的工具。

　　用微扰论研究弦论，一开始就先天不足，如同用费曼图研究量子场论一样，我们在开
始时只有一堆“数据”，要从这堆数据中看到弦论或场论的面貌，要花很多功夫，要有许
多直觉。例如，至今我们也无法从费曼图中看出量子色动力学中的禁闭现象。同理，如果
想看到弦论的全貌和非微扰性质，要么不可能，要么我们要有很大的运气。当初，许多人
以为通过模仿场论来研究弦场论，我们会得到弦的非微扰理论。这种想法，在今天看来，
不是显得幼稚，也是在理论上存在极大困难的。

　　所谓弦场论，是将弦类比于粒子，然后进行二次量子化。我们先帮助大家回忆一下粒
子的二次量子化。给定一个粒子，一次量子化的时候，我们无非是应用量子力学，描述一
个固定的粒子的基本量是粒子的波函数。如果将这个波函数作为基本变量将其量子化，我
们就得到一个更大的函数，是原来单粒子波函数的函数。这个泛涵，不但有单粒子的信息
，还有任意多个多粒子的信息。我们可以用单粒子的函数来展开这个泛涵，第一项有与单
粒子涵数无关，这是个真空，没有粒子。第二项与单粒子的函数成线性关系，是含有一个
粒子的态，第三项与单粒子函数成双线性关系，含有两个粒子，等等。同样，弦的一次量
子化的波函数是一个弦的位形的函数，因为弦的位形本身已经是一个参数的函数，所以单
弦的波函数也是一个泛涵。如果我们形式上将弦的位形看作一个“波函数”，弦本身的波
函数可以用这个函数来展开。第一项与弦的质心位置有关，是一个快子。弦的波函数不能
任意，必须满足一些物理条件的限制，这样，展开的第二项是弦位形的二次项，代表引力
子，等等。

　　弦场论则以上面说的弦位形的泛涵作为基本变量的量子理论，在闭弦的情形，情况十
分复杂，如果要保持时空的对称形，这个理论的作用量含有无限多个项，要作量子化是基
本没有希望的。

　　在定义量子化时，还有另外一个技术上的困难，就是，弦的二次量子化波函数是一个
泛涵的泛涵，没有办法处理这么复杂的东西。第一个困难可以克服，但要牺牲时空中的协
变性，其实，在弦论的早期，吉川圭二(Keji Kikkawa) 等人于1974年已经研究了在光锥规
范下的弦场论，他们发现弦场论的作用量最多含有弦泛涵的四次项，就可以完全包含弦的
微扰论的所有“费曼图”了。由于这个理论不是协变的，很难推广到一般时空背景，从而
对弦论作非微扰的研究。吉川圭二已从大板大学退休，是一个很温文尔雅的人。

　　开弦理论有一个简单而优美的表述，这就是威顿的三次弦场论，这个理论以陈-西蒙斯
的形式出现，同时非交换几何也第一次在弦论中出现。非交换的概念在此出现非常自然，
因为弦场的乘积是用两个弦连接而成一个弦来定义的，本身是不可交换的。这个理论在198
6年被提出后，很快被证明是正确的，即可以用来导出开弦的微扰论。对它的非微扰研究也
是最近才开始的。

　　在整个80年代，唯一与弦论的非微扰性质有关的研究是格罗斯和他的印度学生佩里维
尔(V.Periwal) 关于弦微扰的高阶数渐进行为的研究。在场论中，有一个很重要的结果，
就是当圈数增加时，高圈效应以圈数的阶乘而增大，所以微扰级数是一个发散级数，也是
一个渐进展开。只有当耦合常数很小时，前几项才是重要的。一个渐进展开对应的严格函
数通常在原点处有奇点，而且是本性奇点。这个原点，在场论中就是耦合常数等于零的地
方。虽然这个结果看起来比较深奥，其实一点也不，在寻常的量子力学中我们已经遇到这
种行为。例如在势垒穿透问题中，穿透的几率随着一个量成指数衰减，这个量和势垒的高
度和宽度有关。而高度和宽度又和“耦合常数”有关，后者越小，则穿透的几率越小，所
以耦合常数为零的地方是穿透几率的一个本性奇点。这个量子力学问题的微扰展开就是我
们熟悉的半经典展开，很早以前，人们就知道半经典展开其实是一个渐进展开。随着阶数
的增大，每一项贡献以阶乘的方式增大。回到格罗斯和佩里维尔的工作，他们通过对弦的
世界面的模空间的研究发现，弦的微扰展开也是一个渐进展开，不但如此，这个级数的发
散程度比量子力学和量子场论中的发散还要严重，因为阶乘的阶数被加倍了。这就说明，
弦的耦合常数为零的一点也是本性奇点，并且，弦的非微扰效应应当比场论中的非微扰效
应还要大。

　　在量子力学中，这样的非微扰效应往往与隧道穿透一类的过程有关，这些过程不是实
过程，因为只有在量子论中才有，其完成的时间是瞬时的。在场论中，这种过程和四维的
欧氏时空中的经典解有关，代表的过程与隧道穿透一样，最有名的是非阿贝尔规范理论中
的瞬子解。所以瞬子所代表的穿透过程是一种非微扰效应，这个本性奇点会在微扰论的高
阶行为中体现出来。当然，高阶发散行为的体现不仅仅是瞬子和隧穿，在场论中，还有和
场论的紫外发散有关的贡献，如所谓的“重正子”贡献(renormalon)。这些效应太技术化
，这里就不谈了。

　　特霍夫特为了研究场论的非微扰行为，引进了所谓的大N 展开。这中展开只有在非阿
贝尔规范理论一类的矩阵理论中才能做，原因是这里展开的参数不再是通常的耦合常数，
而是矩阵阶数的倒数。因为矩阵的阶通常用N 来代表，所以这个展开叫大N 展开，实际上
是1/N 展开。这个新的参数很像我们熟悉的耦合常数，只不过，这个耦合常数不是以明显
的方式在作用量中或者微扰计算出现。

　　在特霍夫特那里，大N 展开有一个非常有意思的几何解释。我们通常将费曼图画在一
张纸上，看起来是一个平面图。常常，我们不得不将线段交叉地画，如果这种情况不可避
免，我们就说这个费曼图不是平面图。可以画在平面上的又不出现交叉的图又可以画在球
面上，而不可以画在平面上的图总可以画在一个更复杂的面上。比球面稍复杂的是一个环
面，只能画在环面上的图我们叫作亏格为一的图。现在，特霍夫特证明，所有在大N 展开
中贡献最大的费曼图都可以画在平面上，或者球面上。仅次于这些图的贡献来源于能画在
环面上的图，同样，更小的贡献来自于那些只能画在高亏格面上的图。这样，大N 展开的
阶数就成了图的亏格数。

　　我们不能看出，大N 展开很像弦论的微扰展开，是一种拓扑展开。虽然费曼图本身是
一维的，但用来分类图的方式是两维的面，如同弦的世界面。这种联系，使得人们猜测一
些场论如规范理论是一种弦论，特别是，量子色动力学中的夸克禁闭可以和弦联系起来：
连接两个颜色相反的夸克是一根由胶子形成的弦。到目前为止，夸克禁闭的弦理论还没有
建立起来，但人们在近年来发现，一类规范理论的确可以看成是弦论。

　　与通常以阶乘方式发散的微扰论不同，当亏格数固定时，费曼图的个数只是以圈数的
幂次增加，这就大大控制了渐进展开的发散行为。当然，如果我们提高亏格数，每个亏格
的贡献也随着亏格数增加，并且是以类似弦论中的阶乘数增加的！这是矩阵理论可能是弦
论的另一个证据。当然，为了研究场论本身的非微扰性质，也许我们能计算所有的平面图
就可以了。在早期，人们为了仅仅数平面图的个数，发明了简单的矩阵理论。这个矩阵理
论既不是场论，也不是量子力学，而仅仅是一个矩阵积分。积分的被积函数是一个指数函
数，指数类似场论中的作用量，可以证明，这样简单的矩阵积分可以用来准确地计算与之
相关的场论中的费曼图个数。

　　作为耦合常数的函数，矩阵积分有一些漂亮的解法，尤其是平面图的贡献。人们在大N
 极限下发现了一些和场论有关的效应，例如相变。那时，大家甚至期望一个简单的矩阵模
型可以告诉我们量子色动力学中的禁闭信息，当然这是奢望。不奇怪的是，在研究矩阵模
型的十年后，老结果经过发展真的和弦论联系起来，这就是我们下一节中要谈的老矩阵模
型，或者，根据威顿前天的说法，是中世纪矩阵模型。

　　最后，我们提一下，场论中研究的矩阵模型很早就在核理论中被威格纳和戴森研究过
了。在那里，矩阵的本征值是用来模仿一个大原子核的能量的本征值的，而矩阵积分与能
量本征值的分布有关。

　　(第四节)

　　我们前面说过，一个规范理论，或更一般地，一个矩阵模型，可能是一个弦理论，其
主要根据是大N 展开的行为与弦的微扰展开极为类似。但要真正将一个矩阵模型等同于一
个弦理论，却非常困难，原因是弦论往往是出人意料的方式出现。根据已知的可以等同于
弦论的矩阵模型，弦论出现的方式至少有三种。我们这一节介绍第一种，即老矩阵模型，
这个模型是在1989 年为三个不同的小组发现的，一组人是前苏联人卡扎科夫(V. Kazakov)
和法国人巴热壬(E. Brezin)，一组是当时都在芝加哥的道格拉斯(M. Douglas) 和闲克，
第三组是格罗斯和米格德尔(A. Migdal)。米格德尔也是前苏联人，其时已和玻利雅可夫一
道到普林斯顿任教去了，最近则似乎完全脱离物理，开公司了。据说，他的公司也和他做
的矩阵模型有关，是搞计算技术的。

　　这三组人的成功建立在过去的一系列工作之上，现在我们择要说明。首先，前面已经
提过，在粒子物理这个系统中，大N 展开的鼻祖是特霍夫特，概念起源于他若干个尝试解
决夸克禁闭的工作之一。其后，很多人，特别是巴热壬、伊日克逊(C. Itzykson)、巴里舍
(G. Parisi)和朱拜(J-B.Zuber) 等四人的重要工作系统地研究了一类简单矩阵模型的平面
解。不久，伊日克逊、朱拜和白西斯(D. Bessis) 又发展了解简单模型中的高亏格贡献的
方法。这些方法的发明，完全是为了研究量子色动力学，在当时并没有引起太多的注意。
有意思的是，在超弦第一次革命期间，前苏联和几个欧洲人独立地将矩阵模型和随机面(ra
ndom surfaces) 理论联系起来，他们的出发点还不是弦论。

　　要理解弦论如何从矩阵模型导出，我们首先要了解随机面和矩阵模型的关系。

　　既然已经知道一个矩阵模型的大N 展开是两维面的拓扑展开，矩阵模型和随机面有关
就是自然的了。在随机面理论中，我们计算一个“过程”是将所有可能的面以不同的权重
加起来，这里包括所有不同亏格的面，以及每个亏格中有着所有不同几何的面。权重和面
积以及亏格有关，例如，我们可以要求面积越大，权重越小。那么，怎么才能从矩阵模型
中产生这样的权重呢？首先，我们要想办法将矩阵模型中的某个量与面上的面积等同起来
。在大N 展开中，给定一个费曼图，我们将这个图与随机面理论中的一个面联系起来，具
体办法是这样的：在费曼图中，给定一个顶点，我们围绕这个顶点画一个多边形，这个多
边形的一个边与从这个顶点出去的一根线段正交。

　　这样，我们得到一个对偶于费曼图的面，其中每一个线段与费曼图的一个线段正交，
每一个面对应费曼图中的一个顶点，而每一个新的顶点对应原来的一个圈。为什么费劲做
这个对偶呢？如果矩阵模型的作用量除了正常的二次项外，只有三次“相互作用项”，这
样任一个费曼图只有三顶点，就是每个顶点只有三条线段伸出。这样，每个顶点对偶于一
个三角形，用我们上面描述的方法我们只能得到一个只含三角形的面。在数学中，这是一
个面的三角剖分。如果我们给与这样剖分中的每一个三角形一个基本面积，这个基本面积
对应的权重就是原来矩阵模型中的耦合常数。进一步，与亏格相关的权重在矩阵模型中就
是参数1/N，亏格越大，这个参数出现的次数也就越多。

　　不难看出，上面把矩阵模型与随机面对应起来的方法只能产生被离散化的随机面，因
为三角剖分只能是对一个光滑的面的近似。如果矩阵模型的作用量还含有更多高阶相互作
用项，那么得到的随机面理论也就不是纯“引力”理论，这里的引力是两维引力，原则上
是平庸的，只有面积项起作用。比纯引力复杂一点的，是在面上引入一些“物质场”，这
些物质场，如果是标量的话，我们就得到弦的世界面嵌入一个空间中的情形，这是为什么
矩阵模型和弦论有关。

　　1989年，三个不同的小组令人惊讶地发现了同一个事实，就是，如果将矩阵的阶数推
向无限大，同微调作用量中的耦合常数，就会获得一个完全连续的随机面理论。从我们前
面的讨论，我们知道微调耦合常数是必要的，否则三角剖分永远是离散的。但当维调获得
连续面的时候，每一个亏格的贡献会发散，这时我们就必须取无限大N 极限以获得有限的
结果。

　　这三组人得到同样的结果也并不象表面看起来那样令人惊奇，首先，米格德尔和卡扎
科夫一直在一起研究随机面理论，其次，闲克也去过法国，这是根据道格拉斯的说法。闲
克很早前也研究过大N 矩阵模型。道格拉斯前两天在饭桌上说，格罗斯和米格德尔的第一
篇文章含有一个错误，把非纯引力的部份算错了。当然，这两位是很聪明的人，不久在一
篇长文中纠正了错误，并且给出一个很好的容易理解的表述。在老矩阵模型时髦的时候，
人们常常同时引用这三篇文章，而把格罗斯和米格德尔的文章放在最后，一个可能的原因
是，这两位的确是受了其他几个人的启发。

　　矩阵模型与随机面的相关在三篇重要文章出现之前已经在卡扎科夫的一篇文章中出现
了，他利用矩阵得到与用其它方法一样的结果。这些其它方法，就是传统的世界面上的路
径积分方法，有两个不同的处理办法。一种是以玻利雅可夫为首的苏联人的办法，在两维
的度规中取光锥规范。

　　另一种是更协变的共形规范，由法国的大卫(F. David)和河合(H. Kawai) 及狄斯特勒
(J. Distler)作出。最早的连续方法也只能算出一些临界参数，而矩阵模型则更有用，可
以相对容易地算出关联函数和高亏格的贡献，这是人们当时为何激动的原因。在亏格为零
时，用连续的方法第一次算出关联函数的是我和马克-古里安(M. Goulian)。我当然一直在
研究弦论，古里安则很早转到凝聚态里去了。现在想想，马克的转行也很自然，因为那时
弦论的确处于一个低潮期，年轻人很容易动摇。记得一次在吃午饭的时候，马克谈他刚刚
感兴趣的高分子，施特劳明格问他，这门学问是什么时候开始的。那年研究这个的德-建(d
e Gennes) 正好得诺贝尔奖，施特劳明格说，既然已经得奖了，现在做这个有点晚了吧。
说起来漫不经心，实际是一句至理名言。现在有一些学生问我，弦论正处于低潮，值得进
来研究吗？问这样问题的人，往往对研究的过程不大了解。一个比较成熟的问法是，某莫
学科正处于高潮，现在值得进来吗？因为高潮的原因往往是重要的问题已经被解决。

　　矩阵模型虽然比连续的方法更有效，却存在两大缺点。一个缺点是，由此得到的两维
面上的“物质”不够多，甚至其自由度比一个自由标量场还小。最大也就是一个标量场，
加上由两维度规中出现的一个场，只有两个标量场，所以弦论最多只是一个两维弦理论。
由于在通常的弦论中，度规中的标量场是脱耦的，所以低于两维的弦论行为很不同，有一
个随着空间变的弦耦合常数，也就是伸缩子不是一个常数，这样的弦论叫非临界弦论。另
一个困难是，虽然一些量如配分函数(相当于场论中的真空图贡献) 可以计算出来，其所满
足的微分方程可以逐级地解出，但要得到严格解，从而是包含非微扰效应的解，并不容易
，解也不唯一。

　　人们尝试了从矩阵模型获得非微扰弦论的信息，结果是有限的。九一年，威顿等人发
现两维的黑洞，这个黑洞的背景从弦的世界面的角度来看是一个可解的共形场论，这引起
很多人的兴趣，可能弦论界很多人对黑洞的兴趣是从这里开始的。遗憾的是，虽然人们花
了不少精力研究这个两维的黑洞，所取得的物理进展很少，也没有人能够成功地找到一个
类似矩阵模型的理论。一批人的兴趣因此转移到研究两维的伸缩子引力及黑洞上面去，文
章写了不少，进展甚微。这样的兴趣，一直持续到第二次弦论革命的开始。

　　除了一些有限而且很专业的进展，如卡-丘流形上的镜对称(mirror symmetry) 的物理
上的发现，弦论在矩阵模型和两维黑洞后进入了真正的黑暗期，很多人就在此时与弦论说
再见，而另一部份人则脱离了与弦论的经常性接触，虽然并没有完全离开弦论。

　　但是第一缕曙光往往是在最黑暗的时候出现的，看到这个曙光的人也是那些没有失掉
信心和兴趣的人。我们下一章开始讲与弦论第二次革命有关的，却是完成于第二次革命之
前的工作。

　　


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我要离开尘世的喧嚣,漂流到宇宙的彼岸,

去用心聆听苍穹深处最美妙的音符.

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