Physics 版 (精华区)

发信人: FDTD (放荡*坦荡), 信区: Physics
标  题: 弦论通俗演义（7）
发信站: 哈工大紫丁香 (2003年05月22日18:15:12 星期四), 站内信件

第七章先声

　　(第一节)

　　本想用“二次革命的先声”作为本章标题，但这样一来太象过去写国民革命的早期的
文章了，故简单地用先声，以期不落俗套。

　　超弦第二次革命其来也突然，使得很多人一时摸不着头脑，比如像我这样一直没有离
开弦论的人，也花了近半年时间来吸收。当时在国内的人，似乎还没有人意识到在美国、
欧洲和印度发生了什么。我在97 年回国访问，很多人还对所谓超弦革命持怀疑态度。感谢
当时理论所的所长苏肇冰先生，是他的诚意使得我的那次回国成为可能。其实早在96 年夏
，苏先生就托他过去的学生让我写一个短文介绍对偶的发展，目的是用在他当时向上面要
钱的文章里。作为一直关心场论发展的一个凝聚态物理专家，这样的态度与国内的一些场
论专家形成明显的对照。我写这一段，用意有二，一是不能忘记苏先生的作用，二是提醒
大家前事不忘，后事之师：虽然弦论在中国已有一定的影响，可是我们过去是怎样对待它
的。

　　超弦的第二次革命之所以让许多人不知所措，主要原因是它的背景深藏于过去之中，
要完全接纳需要一定的时间。这些背景包括我们前面已经介绍了的超对称、超引力、K-K 
理论，还有没有介绍的孤立子理论，以及相当多的有效量子场论。再有就是革命发生前的
一些重要却没有引起足够注意的发展，如所谓的T-对偶、卡-丘流形的镜像对称性，当然最
后不能忘记更早的关于S-对偶的猜测，以及森等人的较为近来的工作。所以在进入二次革
命的正题前，应先介绍一下这些背景。

　　但在介绍这些背景之前，觉得想说点关于中国研究超弦的话，说到哪儿是哪儿。为什
么到现在才提这个话题？或者有人问，为什么要讲这个？主要原因是，最近一些搞物理和
数学的以丘成桐先生为首，在杭州和北京搞了两个超弦的短会，请来了一些弦论界的重要
人物，如威顿、格罗斯、施特劳明格等人，再加上历来的理论物理的“形像大使”霍金，
对学生和新闻界影响不小，使得弦论从几乎无人注意(当然除了本坛上一些活跃的人和读者
以及历年参加国内弦论会议的人)一下子变成公众议论的话题。我记得有一次打的，司机在
得知我是搞理论物理的时候问我，模世界和我们的宇宙有没有关系？既然弦论在中国已成
为公众的话题，谈一下弦论在中国的历史应当是一个对大家有益的事。尤其对一些已经选
弦论作为研究方向，以及希望进入弦论的学生来说，这个话题是有用的。我已写了二十一
节，贡献一节给中国，当然中国对弦论的贡献远远不到二十分之一。

　　弦论的祖先之一，散射矩阵理论，在中国的历史和在世界的历史是一样长的。张宗燧
先生的两卷本著作含有比较详细的中国人对散射矩阵理论的贡献的文献，其中值得一提的
是戴元本先生的工作。可惜的是，虽然弦论起源于散射矩阵理论，由於当时中国正处於文
革，中国人在早期对弦论并无贡献。中国人开始注意弦论，是在弦论的第一次革命中。记
得我第一次听说弦论，是因为看到了威顿等人关于卡-丘紧化的文章。

　　我个人比较幸运，在弦论的第一次革命后，有机会去意大利的国际理论物理中心，接
触到当时的预印本，见到很多当时活跃的人包括威顿。从而早在85 年就开始写关于弦论的
不重要的文章了。在国内，除了理论所外，还有科学院研究生院、浙江大学、复旦大学的
一些人开始注意弦论，当然西北的侯伯宇等人也把注意力从反常转移到弦论。

　　作为作者，总是喜欢先谈自己以及与自己有关的人，这里也不例外。当时的情况是，
科大的一些人，如方先生和他的学生，开始重视弦论。方集中精力研究他的天体物理，所
以将研究弦论的事情交给他的学生，我是他的学生，高洪波也是他的学生，比我晚些。高
怡泓是方的半个学生，所以如果这几个人还算对中国的弦论做了一点事情的话，方先生是
间接地做了贡献。方指导学生做学问的办法是放羊，有草吃没草吃全看学生自己的能力，
我是很喜欢这种方法的。当然，由於方本人不是弦论专家，不能直接告诉我们弦论中哪些
是重要问题，这可能会延缓学生的成长，但却是培养了学生的独立能力。对於他能直接指
导的学生来说，成效就完全不同了。尽管如此，我和高怡泓还是坚持了下来。相反，有一
些专门研究场论和弦论老师的学生，却大部分离开弦论甚至理论物理了。

　　听说有人有科大“三剑客”的说法，感谢这些人对我们的谬奖。这“三剑客”，当年
在科大的确是很“哥们”的，有酒一起喝，有文一同看。高洪波兄由於个人的事情在数年
前离开弦论。

　　但他还一直注意弦论的发展，也是我们这个坛子的常客。他的物理背景在他现在的工
作中起了很大作用，他现在在加拿大已经是一个很成功的金融界人士了。只剩下我和高怡
泓这两柄秃剑还在慢慢地挥舞。其实科大当时还有一个非常独立的人，不但独立於老师，
也独立於“三剑客”，这人就是后来很有成就的卢建新。所以说，论对中国弦论界的贡献
，科大为第一(仅卢一人就可以了)。

　　再谈理论物理所，前面我提到苏先生，他不研究弦论，但对场论和弦论的重视超过很
多场论专家。理论所在一次革命后研究弦论的主要是老师，值得一提的是朱重远老师，他
是一直支持研究弦论的。有意思的是，理论所出来的唯一长期研究弦论的学生，也是他的
学生，就是熊传胜。

　　熊有重要的工作，他和江口(Eguchi)的关于拓扑弦的工作在数学界有很大影响。可惜
由於我们还不知道的原因，他也离开了物理。

　　浙江大学的汪容老师带了很多研究弦论的学生，包括虞跃先生。虞跃虽然后来离开弦
论，他的研究弦论的经历相信对他在凝聚态物理中的研究是有很大帮助的。

　　复旦大学倪光炯的学生陈伟，也是早期研究弦论的有数的人之一。他也离开弦论了，
但在干也许比研究弦论更有用的事：和朋友一同主持在新泽西州的一家英文科学出版社。
蒙他的鼎力相助，我和吴咏时先生合作编缉的一本物理中的非交换几何已经出版(大家快掏
银子买书，支持他的出版事业--银子不会到我这里)。

　　西北大学带出了许多学生，如陈一新等人。西北大学至今还是国内研究超弦的基地之
一。北京的研究生院出了朱传界一人，也是异数。

　　再往后，弦论在中国越来越不受重视，就很少出人了。我知道的，也就是理论所吴可
老师的学生陈斌。而现在理论所的研究员喻明也是从国外回来的。从上面的超弦在中国的
简史可以看出，弦论在中国是亟需加强的。不但要寄希望于国家的更多投入，更寄希望于
后来的学生。

　　(我很可能遗漏了很多，请大家补充)

　　(第二节)

　　上一节谈弦论在中国，其实有点离题。没有想到，离题的话居然更有市场，那一节看
的人大概是最多的了。这一节把话题收回来，谈谈超弦第二次革命前的一些背景知识。

　　最重要的，莫过於孤立子这个概念。在很大程度上，弦论实现了爱因斯坦在研究统一
场论时的一个设想：在他的一个理想中，存在一个完美的引力理论，所有物质粒子在这个
理论中都是场方程的解。自1994 年以来，孤立子在弦论中占有中心地位。几乎所有的物体
，包括弦本身，都可以看作是孤立子。

　　孤立子的经验发现虽然很早，可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一
个孤立波，但在物理中很晚才作为理论和实验的对象。水波的第一个孤立波的解的发现也
是迟至上世纪六十年代由克鲁斯卡尔(Kruskal) 等人作出的。孤立波或孤立子从那以后就
几乎成了一个独立学科。在很多情况下，孤立子的解看起来很难找到，但在一些简单的模
型里可以用简单的办法找到。

　　一个线性波动方程的解总是有能量弥散，开始时准备的一个能量很集中的波包经过一
段时间很就逐渐地扩散开来。所以要有一个或很多孤子解，波动方程就必须是非线性的。
最简单的是两维时空中的一个标量场论，其中相互作用的势能是场的四次多项式，有两个
极小点。每个极小点代表一种真空，能找到一个静态解，其在两个无限远处的取值是这两
个极小点。因为是连接两个真空点的解，这样的解叫纽结解(kink)。这个最简单的孤子是
稳定的，因为它要是能衰变的话，两个无限远点的真空必须变成同一个真空，这是做不到
的。还存在反纽结解，它的两个端点的真空与纽结解的完全相反。这样一个纽结解和一个
反纽结解可以放在一起，因为纽结解的右边的真空与反纽结解左边的真空是一样的。这个
系统是不稳定的，因为两边的真空是一样的了，这个不稳定性其实就是正反纽结的湮灭。

　　当时空的维数超过3 时，有一个定理说，如果只存在标量场，就没有孤子解。通常，
经典场的能量可以分为两部分，一部分与场在空间上的变化率有关，另一部分与场的势能
有关。空间变化率越大，场的能量就越大，所以这一项使得场倾向于在空间上变得更均匀
，从而能量比较分散。

　　而势能项使得场变得很集中，在大部分的空间中场处於极小点。这两项有竞争的趋势
，可以平衡时，就可能存在孤子解。在高维的时空中，势能项取得优势，从而不存在孤子
解。

　　在三维时空中，解决这个问题的办法是在标量场以外再引入规范场。规范场的存在可
以减小标量场空间变化对能量的贡献，从而这一项与势能项可能取得平衡，规范场本身对
能量的贡献也可以是有限的。最简单的孤子解是所谓的涡旋解(vortex)，这个解的特点是
一个复标量场的取向与所在的空间点相对於原点的取向一致。这个解推广到三维空间中是
一个弦状的解，因为这个解不依赖于第三维，从而能量集中在平行于第三维的一个轴上。
这就是有名的尼尔逊-奥尔逊涡旋解(Nielsen-Olesen)。

　　两维时空中的纽结解和三维时空中的涡旋解同属於一类，叫拓扑孤子解，因为这两种
解中有一个守恒荷，与拓扑有关。在前者，拓扑荷就是两个孤立的真空之差，是一个固定
的数。在后者，荷与所谓的绕数有关，也就是，绕原点一周，复标量场也在场空间上绕原
点一周。如果表量场绕原点不止一周，拓扑荷就更大。

　　在涡旋解的情况下，我们又说该解饱和波戈茅力(Bogomol'nyi) 下限。在这个简单的
电磁理论中，人们可以推出一个能量的下限，当所有的场都满足一些一阶微分方程时，这
个下限被饱和。

　　所以从经典的观点来说，这个解是绝对稳定的。

　　当时空的维数高于三维时，我们就得引进非阿贝尔规范理论，去得到孤子解。最简单
的例子是一个四维时空中的SU(2)规范理论，加上一个在这个群下的自伴随表示的标量场。
这个标量场有三个份量，数目正好与空间维数相同(与纽结解和涡旋解的情形一样)。这时
，我们也引进一个势能项，使得极小点组成一个两维的面。现在构造一个解，其中标量场
在场空间中的取向与空间点相对於原点的取向一致。标量场在无限远处在极小点上取值，
所以标量场把无限远的两维球面映射到标量场的极小两维球面。这也是一个绕数为一的解
，所以也是一个拓扑解。由於关于纯标量场的定理，我们需要一个不为零的规范场。由於
在无限远处非阿贝尔对称破缺成普通的阿贝尔对称，这个一个磁单极解，带一个没有破缺
的规范场的磁荷。这个解为玻利雅可夫与特霍夫特同时在1975 年发现。由於标量场的方向
与空间方向一致，长得象一个刺猥，所以那时又叫刺猥解(hedgehog)。请注意，纽结解、
涡旋解和刺猥解这三个名称都与解的形状有关。我建议大家记住这些名称，因为这些名称
包含解的大致性质。这些解都满足波戈茅力的极限，所以这些解统称为BPS 解，BPS 来自
于三个人的名字( Bogomol'nyi,Parasad, Sommerfeld)。它们都满足一些一阶微分方程，
这些方程又叫BPS 方程。

　　假定时空的维数更高，能不能找到新的孤子解？答案是肯定的。在场论中，下一个例
子是五维时空。这里，我们仅仅应用一下四维时空中得到的解，这个解是玻利雅可夫于197
5 年发现的瞬子解(instanton)。为何叫瞬子解？因为这个解是四维欧氏空间中的解，在场
论中类似于量子力学中的隧道穿透解，不是一个实际发生的过程，而是一个量子效应。这
个解仅仅需要非阿贝尔规范场，并不需要标量场了。在五维时空中，一个静态解不依赖于
时间，实际上是一个四维欧氏空间中的解，所以瞬子解正好应用到这里，变成一个孤子解
了。瞬子解也是一个BPS 解。

　　我们提到的孤子解都有一个重要的特点，就是所有不为零的场在空间所有的点上都是
光滑的，没有奇异性。如果放弃这个要求，那么即使在一个线性的理论中也可以找到能量
集中在一个小区域的解，例如原来的点状电子为电磁场提供一个点状的源。这样的解不能
叫做孤子解，因为如果象量子电动力学中本来就有电子，这个解不能代表一个独立的自由
度。如果没有电子，这个解就毫无意义了。

　　我不知道在纯粹的场论中，高于五维时空是否存在孤子解。可能不存在。

　　如果有引力介入，情况就完全不同了。我们可以说，黑洞就是一个孤子解。黑洞解虽
然有一个奇点，这个奇点与电子解的奇点完全不同。有两个不同之处：第一，黑洞的奇点
不是存在於空间中的某个点，不是在所有时间上都存在的，用行话说，不是一个类时点，
而是一个类空点，突然出现在某个时间上，有点象大爆炸宇宙的开始时的奇点；第二，黑
洞的奇点被一个视界面藏起来了，站在黑洞之外的人看不到这个奇点。爱因斯坦理论是非
线性的，所以这个类似孤子解的黑洞的存在很容易理解。

　　所有的高维的爱因斯坦理论中都存在黑洞解，所以我们可以说，与通常的场论不同，
引力理论中总存在孤子解，无论时空维数有多高。也许两维时空和三维时空是特例。两维
时空中，度规本身没有任何自由度，从某种角度来说，自由度甚至是负的。为了引入黑洞
，就必须引入一个标量场，如伸缩场。引进这个标量场后，自由度的个数为零，即便如此
，黑洞解就存在了。在三维时空中，纯引力理论的自由度也为零，如果有一个负的宇宙学
常数，黑洞解也存在。

　　当在一个理论中找到孤子后，接下来有一个量子化的问题，必须考虑所有场的量子涨
落对孤子解能量的贡献。计算这些贡献要将一个场以在孤子解附近的模来展开。对於玻色
场来说，可能存在零模，也就是对能量没有贡献的模。最简单的是对应于孤子位置平移的
模，这些模又叫模参数(modui p arameters)，因为它们是描述孤子自由度的参数。如果存
在费米场，费米场的零模也有重要的物理含义。这些零模通常是局域的，在空间上的积分
是有限的。费米场的零模，作为一个算子，作用在原来的孤子解上的时候，产生一个新的
能量与原来一样的态，这个态是费米子。

　　在特殊情况下，如在纽结解情形，费米数甚至是1/2。

　　当存在超对称时，一个孤子解通常有几个伴随的态。如果这个孤子解不破坏一些超对
称，能量可能没有量子修正，特别是在这个孤子是一个BPS 解的情况下。BPS 解的能量满
足下限，而这个下限恰恰与一个拓扑荷有关，明显没有量子修正。当BPS 解同时又不破坏
一些超对称的时候，这个下限是超对称代数的一个结论。超对称代数没有量子修正，拓扑
荷也没有量子修正，所以孤子解的能量没有量子修正。

　　可能N 等於4 的四维超对称规范理论最为有名，因为这里的孤子解是一个磁单极，有
一半的超对称没有破缺，所以其质量没有量子修正。同时，考虑到费米场的零模后，所有
的解形成一个超对称多重态，而且与原来的规范场超对称多重态的表示完全一样。这个特
点，是该理论可能存在强弱对偶的一个重要暗示，因为如果用磁单极作为基本变量，我们
还是得到一个超对称规范场论，且耦合常数是原来耦合常数的倒数。

　　以上谈到的所有孤子解在弦论中都有重要应用。弦论由於含有引力，所以也有不同于
以上孤子解的新解。这些解在超弦第二次革命中起到关键的作用。

　　(第三节)

　　这一节谈谈弦论中所有对偶的最简单的一种，T 对偶。这个对偶的发现比较晚，虽然
人们可能要问为什么不会更早一点。T 对偶又叫“靶空间”对偶(target space duality)
，这里的“靶空间”就是一般的空间，叫成靶，是因为弦的世界面被嵌入这个靶空间。顾
名思义，这种对偶是不同空间之间的对偶。

　　T 对偶是两个日本人于1984年发现的，其中之一就是我们过去提到过的吉川圭二(K. 
Kikkawa,有趣的是，如果你用google 查这个名字，可以找到我先前提到他的那一节）。84
 年弦论刚复活，没有什么人注意到这个工作，后来大家又忙于第一次革命带来的一些时髦
的问题，更没有人注意到这个工作了。最早注意到他们的工作的也是两个日本人，酒井和
千田(N. Sakai, I. Senda)，他们的文章是第一个引用84年的那篇文章的，这是在两年之
后。很有意思的是，吉川和山崎当初写那篇文章的目的不是为了解释T 对偶，而是想通过
对紧化后的卡斯米尔能量的研究来使得紧化稳定。T 对偶不过是他们的意外收获，就是两
年后的酒井和千田的文章，也是想研究环面上的紧致化的真空能量。

　　真正重视T 对偶是1990 年前后。这个事例又一次说明，很多重要的工作仅仅凭当时人
的反映是不够的，有时是错误的。

　　当空间有一维紧化成圆时，如果没有超对称，一个量子场论会有卡斯米尔效应，同样
，一个弦论也有卡斯米尔效应。要研究这个效应，就必须计算在这个紧化下弦的谱。弦在
没有紧化下的谱很早就为人所熟知，分成质心运动部分和振动部分。同样，当弦在一个圆
上运动时，也分成这两部分，其中振动部分与没有紧化时并无不同。质心部分就很不同了
，这时，弦在圆这个维度方向上的动量不再是任意和连续的，而必须象一个粒子一样，要
量子化，这和最早的玻尔量子化条件并无不同。

　　基本的量子化单位就是一个普朗克常数乘上圆半径的倒数，所以半径越小，动量的间
隙越大。

　　如果我们研究的对象是开弦，故事到此结束。如果是闭弦的话，除了质心运动和振动
之外，弦还可以绕在圆上。开弦当然也可以绕在圆上，但由于开弦的两端是自由的，缠绕
的方式在运动过程中会改变，从而没有一个守恒量与之对应。闭弦的绕数是守恒的，所以
绕数是一个好的量子数，必须出现在单个弦的谱中。不但如此，在弦的相互作用过程中，
弦的总绕数是守恒的，这个很容易通过想象弦的断开和连接来验证。这样，当我们考虑紧
化空间是一个圆时，单个弦的谱中就多了两个分立的量子数，一个对应于量子化的动量，
一个对应于弦的缠绕数。绕数对能量的贡献与圆的半径成正比。

　　从弦的谱来看，对两个量子数的依赖完全相同，只不过是系数不同而已。如果我们用
一个新的圆代替老的，让新的圆的半径是旧半径的倒数（以弦的长度标度作单位），那么
在这个新的圆上所得到的谱和老的圆上的谱完全一样，换言之，我们看不出这两个理论有
什么不同。这就是T 对偶了，两个理论看起来不一样，实际上是完全等价的。当然，我们
要证明这个等价性还必须证明除了谱之外，弦的相互作用也完全一样。在微扰论中，要证
明这一点，只须证明每个费曼图都相等就行了，也就是说，我们要求在每一个高亏格黎曼
面上，两维的共形场论完全一样。这个是比较容易做到的，因为两个共形场论都是自由场
论，计算关联函数是相对容易的。

　　有一个特别的半径是自对偶的，当它的倒数等于自身时。用弦的长度标度作单位，这
个半径基本上就等于弦的长度标度。半径小于这个自对偶半径对偶于一个大于自对偶半径
的半径，所以自对偶半径可以看作弦论中的最小尺度。T 对偶在90年左右引起的兴趣基本
上就是用来论证弦论中有最小尺度，当然人们也用弦的散射振幅来说明这一点。

　　T 对偶在一个量子场论中是绝对不可能的，因为那里没有绕态，所以T 对偶完全是弦
的性质。T对偶的存在说明在弦论中，空间这个概念不是绝对的，是根据定义来的，从而是
一个物理的体现。

　　有人会问，那么当空间中的一维是圆时，我们到底怎么决定它的半径。这是一个很好
的物理问题，回答也是很物理的，就是，要看容易激发的激发态是什么，以及各个态的耦
合强度。我们有两个对偶的理论，弦的偶合强度在原来的全部空间中是不一样的，而在约
化后的空间中（将圆除外）的耦合强度是一样的。假定原来的耦合都是弱耦合，我们就要
看轻激发态是什么。如果其中一个圆的半径大于自对偶半径，那么对应的动量模比对应的
绕数模轻，我们就说物理用的尺子是用动量模构造的，半径是这个大的半径。当这个半径
太大时，耦合强度有可能很大，这时就要仔细分析相互作用带来的后果了。当半径变小，
绕数模越来越轻，我们就可以用这些绕数模构造尺子，量的是对偶的半径，因为在这个对
偶理论中，原来的绕数模变成了动量模。

　　对于一个简单的圆来说，T 对偶就是简单地把圆的半径换成倒数，这样的操作形成一
个简单的群，就是Z(2)。如果没有T 对偶，我们说由半径这个模参数组成的模空间是一个
半直线，从零到无限大，后者更准确地说，是一个直线，如果我们用半径的对数做模参数
。有了T 对偶，直线在T 对偶的作用下反演了一下，我们将这个直线以自对偶半径那一点
为原点对折，得到一个新的模空间，这是一个半直线。

　　T 对偶自然地推广到包括更多的圆，这时就有更多的对偶操作，不仅仅是简单的T 对
偶推广。

　　当然每一个圆的方向都可以作原来的T 对偶操作,当维度增多，还有一些纯几何的对称
性，如在环面情形，我们可以将环面的两个方向作交换，也可以选择两个完全不同的基本
圆来形成这个环面。这种纯几何的对称性已经形成一个相当大的群，有无数个群元，可以
由两个生成元产生。原来的两个T 对偶相结合使得整个环面的体积变成原来的倒数，再加
上对弦论中普遍存在的一个反对称张量场做变换，形成另一个群。这两个群的集合就是群S
O(2,2,Z), 这里我们不打算解释这个群的定义，希望学过群论的人一看就知道这是什么。

　　我们统一地把几何对称和弦的T 对偶叫做T 对偶群，这个群随着环面维度的变大越来
越大，当维度是d 时，这个离散群是SO(d,d,Z), 作用在模空间上。现在的模空间的参数由
环面上的几何参数以及反对称张量场组成。T 对偶群也作用在弦的谱上，作用也有直观的
解释：弦态的动量在环面上有d 个分量，同样，绕数也有d 个分量，由这2d 个整数形成一
个2d 维晶格，SO(d,d,Z)是这个晶格的对称群。当我们观察质量谱时我们会发现在这个群
作用下质量谱不改变。

　　应当提一下，我们一直没有太强调其它模参数。就世界面上的共形场论来说，只涉及
到我们提到的模空间。当我们考虑弦的相互作用时，就必须计及相互作用常数，这也是一
个模参数，它在T对偶的作用下也会改变。

　　由于T 对偶的发现和证明一直局限于谱和世界面，这种对偶严格说来只是在微扰论中
被证明。

　　后来人们在简单的圆的情形利用规范对称性来说明T 对偶也是一种剩余规范对称性，
这样，T 对偶应当是一种严格的对称性，在非微扰论中也应当是成立的。

　　最后，回到T 对偶发现的原始文章，在那里，吉川等人计算了真空能量，发现在自对
偶的半径处能量取极小，这当然是对偶的一个简单结论。

　　(第四节)

　　我们前面介绍的T 对偶，既可以用在玻色弦理论中，也可以用在超弦理论中。用于玻
色弦时，情况很简单，无非由一个玻色弦得到另一个玻色弦；用于超弦时，情况稍复杂，
在T 对偶下，IIA理论变成IIB理论，反之亦然。这个现象有一个简单的世界面上的解释。
在世界上，当我们做T 对偶时，是将动量模与绕量模互换，这个互换可以通过改变世界面
上对应的标量场(即紧化的那个空间) 的左手模的符号达到。由於要保持世界面上的超对称
，对应的世界面上的费米子的左手模也要改变符号。我们知道，时空中的费米子来源于两
个雷芒分支，当世界面上的一个左手费米子改变符号时，其所在的雷芒分支的手征性改变
。这样，在T 对偶下，IIB 弦论中本来有相同手征得雷芒分支变得具有相反的手征性了，
这就成了IIA 理论。

　　T 对偶的存在说明弦论中空间这个概念不是绝对的，是根据动力学和物理解释获得的
。T 对偶的一个较为复杂的推广是所谓的镜像对称性(mirror symmetry)，这是一个联系弦
论和代数几何的重要现象，我虽不是专家，还是在这里谈一下。

　　镜像对称性关于IIA 弦和IIB 弦的对称性，只有当紧化空间是卡-丘流形时才有。这个
对称性说，一个IIA (IIB) 理论紧化在一个卡-丘流形上时等价或即对偶于一个IIB 
(IIA) 理论紧化在另一个拓扑和几何完全不同的卡-丘流形上。拓扑上的条件是，一个卡-
丘流形的凯勒(Kahler) 形变的参数对应于另一个卡-丘流形上的复结构形变参数。我们先
解释这个要求的物理含义。

　　在紧化后，我们通常要考虑每个十维的场会产生什么样的四维无质量场。例如，通过
引力场在紧化了的时空方向的份量，我们可以获得四维时空中的标量场。这些标量场的数
目往往与紧化空间的拓扑有关。间言之，一部分份量的零模由卡-丘流形的凯勒形变给出，
另一部分零模由复结构形变给出。巧的是，这两组参数的数目之差等于四维中零质量费米
子的代的个数(如果是杂化弦的话)。

　　在镜像对称性的作用下，上述两组零模互换，总数不变，相差得绝对值也不变。其实
镜像对称性的发现相当晚，直到90 年才有人认真提出来。发现得晚的原因是，这个对称性
在几何上是不可思议的(要求卡-丘流形成对出现)，对称性本身只有通过研究世界面上的共
形场论才变得明显。

　　当我们研究IIA 或者IIB 理论时，世界面上的共形场论具有超对称，即使当一部分空
间是卡-丘流形时，也有世界面上的超对称。此时世界面上有四个超对称，左手分支两个，
右手分支两个(记住在共形场论中这两个分支基本上是独立的)。在每个分支中，更有超共
形不变性。在这里，我们遇到将来经常遇到的概念，就是超对称BPS 态。这里的态指的是
世界面理论中的态，而不是时空中的态。世界面上的超共形代数定义了一些特别的态，叫
手征原初态(chiral primary)，这些态带一个守恒荷，而超对称代数表明该态的标度指数(
scaling dimension) 等於这个荷，这个关系是超对称BPS所满足的关系。由於左手和右手
都有一个超共形代数，所以一个完整的算子带两个荷。我们上面所说的两种形变参数对应
于这些手征原初态，所以共形场论的知识决定了卡-丘流形的一些拓扑性质。

　　现在，镜像对称性在共形场论中有很简单的解释，两个镜像对称的卡-丘流形的描述对
应于同一个共形场论，但算子的左手荷的符号被改变了。一个近乎平庸的共形场论的对称
变成了高度非平庸的空间对称性。

　　后来各种对偶的发展证明镜像对称性不仅有重要的物理应用，也有似乎更重要的数学
应用。

　　现在转到二次革命前的另一个重要发现，规范场论的强弱对偶，又叫S对偶。要解释这
个对偶，我们要回顾一下狄拉克1948 年关于磁单极的工作。在麦克斯韦理论中，通常只假
设电荷的存在，没有磁荷。在这种情况下，电场和磁场可以统一地写成电磁势，是一个时
空中的四维矢量。如果没有量子力学，将电磁场分开来写或者统一地写完全是个习惯问题
。有了量子力学，这就成为一个物理问题了，很明显，一个电荷在电磁场中应当直接与电
磁势耦合，这已经由阿哈诺夫-玻莫效应的实验所证实。当有磁荷的时候，通常不能直接写
电磁势。例如，只有一个磁荷，也就是磁单极时，我们没有办法写出一个除了在磁荷那一
点处处光滑的电磁势。如果形式上扣除从磁荷处延伸到无限远处的一个半直线，我们就可
以写出电磁势。这个电磁势在扣除了的半直线处无法定义，这个半直线叫“狄拉克弦”。

　　当一个电荷在磁单极的磁场中运动时，我们还象过去一样假定电荷直接与电磁势耦合
。但是，我们不能假定狄拉克弦真的被扣除，所以电荷本身的波函数应当与狄拉克弦的存
在无关，这个要求导致磁荷和电荷量子化，叫狄拉克量子化。数学上，量子化要求电荷乘
以磁荷是整数，物理上，这个乘积很自然，因为电荷与磁荷的耦合强度既正比于电荷，也
正比于磁荷。

　　狄拉克量子化条件也有一个很漂亮的数学解释。我们用同心球面来描述整个空间，中
心就是磁单极所在处。狄拉克弦与这些球面相交于球面的北极，所以电磁势在北极没有定
义，换言之，磁单极的存在使得电磁势在球面上的一个开集有定义。我们现在将球面分成
上半球面和下半球面，电磁势应当在这两个半球面上分别有好的定义。两个半球面相交于
赤道，在赤道上，两个定义不同，但也只相差一个规范变换，这个规范变换定义了一个纤
维丛。考虑电荷在球面上运动，电荷的玻函数在两个半球面上也分别有定义，在赤道上也
相差一个规范变换。我们要求这个规范变换沿著赤道是周期的，这就给出狄拉克量子化条
件。

　　对於狄拉克本人来说，如果找不到磁单极，虽然有一点遗憾，因为不能很简单地解释
电荷的量子化了，故事也到此结束了。我们并不奢望电磁理论中真的存在磁单极。在有些
非阿贝尔规范理论中，我们两节前说过，真的存在磁单极解，所以在这些理论中我们就不
能忽略磁单极了。磁单极解，由於是孤子解，有一个孤子解的共性，不但所带的磁荷反比
于理论中的基本电荷，其质量也与电荷的平方成反比。当规范理论是弱耦合时，磁荷很大
，质量也很大，一般不介入低能现象。

　　如果我们考虑电荷与磁荷之间的耦合，由於狄拉克量子化，耦合永远是1 的数量级，
无论电荷本身如何小。如果考虑磁荷与磁荷之间的耦合，耦合强度与电荷之间的耦合强度
成反比。自然地，人们问，有没有可能将带磁荷的孤子看成基本的激发态来构造一个新理
论，在这个新理论中，原来的基本激发态如电荷成为孤子？这是一个非常动人的猜测，很
难验证，所以有很长一段时期没有人认真地对待这个猜测。如果一个猜测是对的，那么新
理论就是原来理论的对偶理论，其中基本相互作用强度与原来的相互作用强度成反比，所
以这个对偶叫强弱对偶。

　　现在看来，强弱对偶不会是普遍成立的。能够找到根据的强弱对偶都涉及到时空的超
对称，最典型的例子是我们提过的N 等於4的超对称规范理论(super Yang-Mills，经常被
简化为SYM，我在台湾经常看到这个缩写，原来是三阳摩托的简称)。这个对偶是英国人奥
立弗-曼通宁在1977年首先提出，后经奥斯本(H. Osborn) 指出磁单极只有当有16个超对称
生成元时才可能组成一个含规范粒子的超对称多重态(79 年)。这个对偶猜想被冷落了许多
年，据我所知，森也许是第一个重视这个对偶的人，他的出发点是弦论，最早的时间是199
2年，后来史瓦兹也相信了这个猜想。另外，龚特里特(J. Gauntelett) 也在1993年研究了
超对称磁单极的低能动力学，目的也是为了研究强弱对偶。

　　N 等於4 的强弱对偶不仅仅是简单的强弱互换。在这个理论中，除了一个耦合常数外
，还有一个耦合常数类似一个角，通常称为西它(希腊字母) 角的，与一个拓扑项有关。这
两个常数结合成为一个复数，强弱对偶可以推广为一个变换群，非常类似两维环面上T 对
偶的一个子群，就是SL(2,Z)。

　　这些对偶变换预言，存在着无限多个磁单极和电荷的束缚态，带有任意整数个磁荷和
任意整数个电荷，这两个整数互素。除了磁单极本身，最简单的束缚态含两个磁荷和一个
电荷。这个束缚态的存在於94 年由森所证明，从而第一次给出强弱对偶的证据。

　　众所周知，塞伯格和威顿94年的工作在场论界和弦论界唤起了人们对对偶的兴趣，而
这两个人对对偶的兴趣一部分来自森的工作。当然，很多人许久以前就提出了其它种类的
对偶，由於太缺乏证据，没有人相信，我们下一节谈谈这些“史前”猜想和相关的工作。
非常有趣的是，虽然一般地说强弱对偶比较罕见，却普遍存在於超对称规范理论中。进一
步，这些强弱对偶都毫无例外地可以在弦论中实现。毫不夸张地说，弦论是一切对偶之母(
起码目前如此)。

　　

 
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我要离开尘世的喧嚣,漂流到宇宙的彼岸,

去用心聆听苍穹深处最美妙的音符.

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