Physics 版 (精华区)

发信人: zjliu (秋天的萝卜), 信区: Physics
标  题: 凝聚态/奇妙的分数统计(2)
发信站: 哈工大紫丁香 (Sat May 24 13:24:08 2003) , 转信

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      (一)数学根源

      在全同粒子系统中,交换两个粒子坐标的操作用置换群描写.置换群包含
  两个元素,单位算子I(即不做变换)和置换算子P. 将置换算子P作用在系统波
  函数上,很明显,PP=I,由此可知置换算子的本征值为P=+1和-1,其对应的本征
  函数分别是对称的和反对称的,而相应的粒子分别是玻色子和费米子.

      在以前的讨论中,人们只是简单地让两个粒子交换坐标,没有考虑过两个
  粒子交换坐标时所走的路径对统计性质的影响.在三维空间,路径问题是不存
  在的. 考虑甲乙两个粒子,分别位于三维空间中ab两个点,置换两个粒子坐标
  时,甲从a到b,乙从b到a,两条路径组成一条闭合曲线.但无论两条路径的具体
  形式如何,这条闭合曲线总可以连续收缩为一点, 从拓扑学角度讲,它们都是
  等价的,或说所有的闭合曲线属于同一个拓扑等价类.路径的不同不会对置换
  群的表示有任何影响.

      但在二维空间,情况就大大不同了. 考虑平面上的一条闭合曲线,该平面
  上它包围的空间里有一个点,如果我们在三维空间中讨论,那么这条曲线可以
  从该粒子上面绕过而收缩为一点,但如果我们限制在二维空间中讨论,那么这
  条曲线在收缩过程中就不可避免地碰到这个点,从而永远无法收缩为一点.这
  就造成了二维空间中置换两个粒子坐标时粒子所走过的路径并不属于同一等
  价类,从而必须对路径进行分类,而置换群的概念也要推广, 以区分不同等价
  类的路径.

      熟悉拓扑学的网友都知道,描述这一问题的标准数学语言是同伦群.同伦
  群的精确定义比较抽象,我们这里用一个简单的例子来说明. 考虑二维空间,
  由于绕一个点N周的所有闭合曲线都是拓扑等价的, 可以把绕点N周的所有闭
  合曲线组成的等价类作为同伦群的一个元素,很容易验证,它们满足群的定义.
  这个群叫第一同伦群,也叫基本群.

      N 个全同粒子组成的系统,其二维位行空间非常复杂,这个位行空间的同
  伦群是一无限群. 位行空间分成若干不相连的区域,路径分成不相连的分支,
  每个分支作为一个元素组成所谓的辫子群.直观地说,两个全同粒子在二维空
  间中运动, 它们划过的世界线相互缠绕,编成一条辫子,编辫子的不同方式就
  构成辫子群的元素. 与此对应,任意子系统的波函数的Hilbert空间不再是置
  换群的表示,而是辫子群的表示.也就是说,在二维空间里,只用置换群对路径
  分类是不够的,必须用辫子群做进一步的考查.

      第一个把分数统计和辫子群联系起来并给出任意子数学根源的仔细讨论
  的是中科院理论物理研究所的吴咏时[3].

                                                   (to be continued)



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